그냥 -다 체로 씀


Cayley table applet이라는 사이트를 이용해서 직접 군을 만들어 봤다
사이트보면 알겠지만 연산표를 만들 수 있고 군이 맞는지 아니라면 왜 아닌지 abelian인지 cyclic인지 등등 나옴

그리고 order3,4를 직접 만들면서 항등원이 있다면 연산표가 어때야하는지 왜 행과 열에 원소가 겹치면 안되는지(역원의 존재 + cancellation law로 인해 1-1) 설명
그리고 order6 group을 만드려고 함
위의 규칙대로 항등원이 존재하고 역원이 존재하게끔 만들었지만 group이 아니라고 나옴

왜 안될까요?
학생) 결합법칙이 성립하지 않아요

우리는 결합법칙을 너무 당연하게 보고 있다 하지만 제일 확인하기 어려운게 결합법칙이다
결합법칙은 어떻게 보면 교환법칙이라고 말할 수도 있다
원소의 순서가 바뀌는 건 아니지만 함수의 적용 순서가 바뀌기 때문 (ab)c=a(bc)

그렇다면 결합법칙이 성립하지 않는 연산표는 몇 개나 있을까
다시말해 reduced latin sqaures가 몇 개나 있는 걸까
(위키 띄워 줌)

무려 9408개나 된다
동형을 무시하면 C6과 S6 두 가지 밖에 없지만 결합법칙을 무시하면 이렇게나 많다 그러니까 항등원과 역원이 존재하게끔 만들더라도 결합법칙을 무시할 확률이 압도적으로 높다

수업을 많이 하면서 이 문제를 학생들에게 내줬지만 아무도 풀어오지 않았다며 문제 소개

Ln을 n of reduced latin squares, Gn을 n of group Cayley tables이라고 해요
(Ln/Gn을 쓰면서)왠지 어떤 걸 하고 싶나요?
(학생들)리미트
(limLn/Gn를 쓰면서)답이 어떻게 될 것 같나요?
(학생들)0

0이라는 걸 증명해온 사람들도 없다고 함
그리고 0이라는 걸 증명했다면 f(n)=Gn/Ln이 구체적으로 어떤 함수일까 고민해보는게 좋을 것 같다고 함
L8의 값도 시행착오 끝에 구했다는 얘기를 하며 오전수업 종료

오후수업은 행렬군에 대해서 얘기함
다르게 얘기하면 행렬군은 Lie group이라고 얘기할 수 있다 여기서 Lie는 사람이름이다 거짓말이라는 뜻이 아님(농담)

여기서부터는 선대군 읽어봤다면 아는 내용들

3차원에서 회전하는 사상들의 모임을 Rot이라 하자
항등원도 있고 역원도 있다(반대로 회전)
그렇다면 문제가 되는 건 닫혀있다(closed)는 것

ㄹㅇ 고수들은 설명도 쉽게하더라 그림 몇 번 그리더니 증명 끝나있음 엄밀하게 한 건 아니지만

아무튼 Rot와 SO3(R)은 같다는 내용 증명 끝
그렇다면 R^4에서 회전사상들의 모임은 어떤 구조일까
SO4그룹과 관련있다고 얘기

D2n군을 행렬로 나타낼 수 있다는 내용
그렇다면 행렬군에서 유한군은 D2n말고 다른게 더 있을까?
체를 유한체로 놓으면 된다
그리고 GL2(F2)와 S3이 동형이라는 내용 설명
GL2(F2)은 order6이고 non-abelian이므로 S3와 동형일 수 밖에 없다 그렇다면 동형사상은 무엇인가?

symmetry group of tetrahedron(정사면체군, G4)이 S4와 동형이다
동형임을 알기전에 단사임은 쉽게 알 수 있다
(무게중심이용해서 선형변환으로 바꿔서 설명하는데 신박했음)

그리고 신기한 정리가 하나 있다
O3에 있는 finite group은 정다면체군과 D2n밖에 없다는 정리 소개함

그리고 유한군의 분류에 대해 소개함

컴퓨터에 F_(2^n) field가 사용된다
바꿔쓰면 (F_2)^n인데 1과 0으로 이루어진 벡터로 나타낼수 있다 덧셈은 그냥 더하면 되겠지만 곱셈은 까다롭다며 얘기함

마지막으로 자기 연구분야가 정수론인데 정수론에서는 Aut(Qbar)가 굉장히 중요하다 이 그룹은 알려진게 거의 없다는 내용 소개



강의를 끝마치며
격려아닌 격려를 하겠다 순전히 논리적인 내용이기 때문이다
여러분들은 수학을 잘한다
물론 올림피아드, 과학고 거친 학생들은 잘하지만 보통 수학과 학생들도 수학을 잘한다
전국 수학과+수학교육과 학생들이 한 학년 2000명정도이다
작년 전국 수험생이 50만명이었는데 나눠보면 0.5%이다
충분히 여러분들은 같은 나이 또래들에 비해 잘한다
그래서 여러분들의 수학실력을 충분히 발휘한다면 잘해낼 수 있을 것이다


녹음이라도 해둘걸 그랬네