보통 집합 X의 cardinality를 card(X)라고 쓰면
두 집합 A,B에 대해. card(A) =< card(B) 의 정의를
A에서 B로 가는 1-1 (one-to-one) 함수가 있다
라고 정의하는데,
저는 위에서 나온 정의랑
B에서 A로 가는 onto 함수가 존재한다
라는 말이랑 당연히 동치인줄 알았는데 아니더라구요.
https://math.stackexchange.com/questions/286791/cardinality-and-onto-function?r=SearchResults
여길 가 보면 대답한 사람이 말하길
ZFC 공리계 하에서는 두 정의가 같지만,
만약 ZF까지만 가정하고 AC를 가정하지 않는다면 다음과 같은 statement가 ZF랑 consistent 하다고 되어있네요.
1. B->A 로 가는 onto function은 있지만 A->B로 가는 1-1 function은 없는 두 집합 A,B가 존재한다
2. A ->B 로 가는 onto function 과 B-> A로 가는 onto function은 존재하지만, A->B 로의 bijection은 없는 두 집합 A, B가 존재한다.
왜 이런 현상이 발생하는지,
그리고 이 내용을 공부하려면 어떤 책이나 article을 봐야하는지 혹시 알려주실 수 있나요?
두 집합 A,B에 대해. card(A) =< card(B) 의 정의를
A에서 B로 가는 1-1 (one-to-one) 함수가 있다
라고 정의하는데,
저는 위에서 나온 정의랑
B에서 A로 가는 onto 함수가 존재한다
라는 말이랑 당연히 동치인줄 알았는데 아니더라구요.
https://math.stackexchange.com/questions/286791/cardinality-and-onto-function?r=SearchResults
여길 가 보면 대답한 사람이 말하길
ZFC 공리계 하에서는 두 정의가 같지만,
만약 ZF까지만 가정하고 AC를 가정하지 않는다면 다음과 같은 statement가 ZF랑 consistent 하다고 되어있네요.
1. B->A 로 가는 onto function은 있지만 A->B로 가는 1-1 function은 없는 두 집합 A,B가 존재한다
2. A ->B 로 가는 onto function 과 B-> A로 가는 onto function은 존재하지만, A->B 로의 bijection은 없는 두 집합 A, B가 존재한다.
왜 이런 현상이 발생하는지,
그리고 이 내용을 공부하려면 어떤 책이나 article을 봐야하는지 혹시 알려주실 수 있나요?
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Axiom of choice를 가정하면 1-1이용한 정의와 onto 이용한 정의는 알 것 같습니다. 하지만 AC가 없는 상태에서는 어찌 될지 잘 모르겠습니다 ㅠㅠ
f가 X에서 Y로의 함수라 하면 f가 전사일 필요충분조건은 f•g = 1_y 인 Y에서 X로의 함수 g가 존재하는 것인데 이게 선택공리 없이는 증명이 안돼서 이거랑 관련있을듯
서울대 2002년 집합론 강의록 1장 10p~12p 보면 전사함수 f:A > B가 존재한다는 것과 단사함수 g:B >A가 존재한다는 것이 동치라 되어있음. 각주에 작게 언급되어 있지만 선택공리를 가정하고 가서 가능함
내가 할 수 있는건 여기까지.. 더이상은 넘모 힘들어
서울대 2002년 집합론 강의록은 구글링하면 구할 수 있음