예를들어 저는 sheaf cohomology를 derived functor 를 이용해서 정의한다는것을 알고
그 대부분의 구성이 잘 되어있다는것, 예를들어 global section functor가 left exact라던지 하는것들은 확인했지만
대체 이것이 기하적으로 어떤의미를 가지고있는지는 전혀 눈에 보이지 않아요.
(이 부분에 한해서 구체적으로 말하자면 sheaf의 injective resolution의 의미가 어떤 의미인지 전혀 와닿지가 않습니다...)
이뿐만아니라 cartier divisor라던지, 그 외 여러가지가 눈에 들어오지 않는데요
혹시 대수기하 책중에 정리의 증명보다는 intuitive한 설명과 예제위주로 써놓은 책 없을까요?
그때 그때 overflow나 stackexchange등 인터넷 뒤져가면서 찾아보고는 있는데... 가끔 여기서의 설명도 따라가기 힘들더라구요.
기초 기하책중 빠르게 집중해서 볼만한 책도 알려주시면 감사하겠습니다.
한 권 안에 그런 역사나 Motivation들을 다 때려넣은 친절한 책은 본 적이 없습니다. 가환대수, 호몰로지 대수와 (대수적) 위상수학, 복소해석학, 미분기하학을 포함하는 포괄적인 역사와 학문 발전 과정을 책 한 권으로 끝낼 수는 없겠죠. 학부생을 위한 대수기하 책 몇몇...을 제외하면 Vakil 노트가 무난하게 분량이나 예제, 생각해볼만한 거리들을 포함하고 있습니다. 다만 그의 flowchart에 대해서는 전적으로 동의하지는 않습니다 (그렇다고 딱히 Hartshrone이나 Shafarevich 등의 책이 정답이란 것도 아닙니다).
Homology/Cohomology는 계산 도구로 사용되게끔 설계되었습니다. 항상 sheaf cohomology가 좋은 기하적 의미를 가지지는 않지만, 특정 조건 하에서는 기존의 위상/기하 이론과 일치하며, 가환대수/호몰로지대수의 다양한 기법들을 사용할 수 있지요. Resolution을 사용하는 것은 Hilbert의 철학과 1930~40년대의 대수위상 이론을 보시면 조금 납득이 가실지도 모르겠군요... 하나만 대충 이야기하자면, 호몰로지 대수에서는 object와 그 object를 represent하는 resolution을 같은 대상으로 보고 싶어합니다. 그런데 sheaf of O_X-modules 카테고리에는 일반적으로 projective resolution이나 free resolution같은게 없어요.
아 역시 어쩔 수 없나 보군요 감사합니다.
그러니 injective resolution을 쓰는것이고, 이들은 acyclic하기 때문에 이론적으로 아주 깔끔하게 기술되고, universality나 대수위상이나 복소기하의 정리들을 상당히 많이 가져올 수 있습니다. 다만 실질적으로 이 방법으로는 계산이 불가능하니 계산은 다른 대수 테크닉으로 돌려버리죠. Cohomology long exact sequence, vanishing theorems, spectral sequence 등등... Textbook들에서 연습문제로 돌려놓은 것들을 생각해본다거나, Historical note 같은게 적혀있으면 좀 도움이 됩니다. 전공자를 위한 20세기 수학 역사책들이 몇 개 있는데, 그런것도 심심할때 한 번 찾아보시면 기분전환이 됩니다.
답이 정해진 질문인것같긴한데... 그렇다면 공부도중 도저히 intuition이나 간단한 예제가 떠오르지도 찾아지지도 않는 경우는 그냥 우선 그러려니하고,모티베이션 없는 공부가 되서 굉장히 고통스럽지만 책에 적힌부분까지만 잘 이해하는것을 목표로 두는길밖에는 없는것일까요?? ㅠㅠ 말씀하신 sheaf of O_X module 카테고리에 대해서는 injective object가 충분히 많이 있고 따라서 injective resolution을 항상 찾을 수 있고, 같은 이야기들은 보았는데 비교적 간단한 sheaf?인 constant sheaf에 대해서조차 injective resolution을 구체적으로 적으려고하면 도저히 떠올릴 수 없어 좌절했었습니다. 실질적으로 계산이 불가능한게 맞았군요...
최고, 혹은 최선이라고도 할 수는 없지만 방법 하나 알려드리자면 (1) 대상을 쉬운 케이스로 한정지어본다 (smooth projective variety over the field of complex numbers, 혹은 충분히 좋은 ring 위의 module theory로) (2) baby example을 만들고 다른 기존의 이론 (가환대수, 미분기하, 복소해석, 대수위상 등) 을 활용해서 계산해본다 (3) 구글신께 여쭤본다 (4) 이만큼 했는데도 감이 안 잡히면 교수님께 찾아간다 모든 정리, 예제를 다 이렇게 할 수는 없으니 중요한 부분 위주로 봐야하는데, 안목이 좁아 뭐가 중요한 것인지 알아차리기 어려울테니 그냥 (1)~(3) 다 젖히고 교수님께 찾아가는 것도 한 가지 방법입니다.
정말 정말 감사드립니다. 실질적으로도 심정적으로도 많은 도움이 되었습니다 ㅠㅠ