a와 b가 서로소인 자연수라고하자. a+bk(k=1,2....n)꼴의 n개의 등차수열 항을 생각할때
반드시 그 n개 중 어떤 하나가 나머지와 모두 서로소인 항이 적어도 하나 존재한다.
이게 되면 꽤 좋은 성질들이 증명이 됩니다.
그중 가장 중요한게 Prime gap인데
주어진 소수 p 다음에 오는 소수차이가 어느정도될것인가?
이게 루트p정도 된다는것이 증명이 가능해지고 이는 획기적인거라 생각하거든요
이 추측이 맞을까요? 며칠정도 고민해봤는데..
잘 안돼서, 아..틀렸나? 싶어서..반례를 찾고있는중입니다. 혹시 반례를 찾으신다면..댓글 부탁드립니다
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n은 임의의 자연수? - ♡나사춘은 사랑입니다♡
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내 기억으로 이거랑 비슷한 게 math stackexchange에서 꽤 골치아픈 문제였던 것 같음
일단 코멘트만 남기자면, a+kb가 a+lb랑 서로소인 건 a+kb가 k-l이랑 서로소인 거랑 같지? 반례를 찾을 생각이면 이렇게 생각하는 게 더 쉬울거
그리고 저런 관찰을 시도했단 거 자체가 대단한 것 같다 ㅊㅊ
근데 저사실로 prime gap을 어케좁힘? 잘 모르겟소요
포함배제로 세면 될거같은데
나도 그걸 제일 먼저 생각했는데.. 될것같음 함 해봐봐
소수정리에 따르면 소수 p 다음에오는 소수갭은 log p가 평균이고, 확률분포상 a log p에서 b log p 사이에 들어있을 확률이 특정 density를 이룬다는 것과, 최악의 경우라도(limsup) (log p)^2보단 작을거라는거 까지가 추측.
n을 엄청 크게 잡으면 a+bk꼴인 소수가 존재하기때문에 걔가 당연히 나머지 모두와 서로소니까.. n이 어느정도 범위에서 구할건지도 마뢔줘야
a+bk꼴 소수 있어도 그 소수의 배수가 존재할수 잇지 안나염? - dc App
소수의 배수가 존재할 수 없게 a+[(n+1)/2]d에서 부터 a+nd사이에 소수가 존재하도록 n을 크게 잡으면 그 소수는 배수가 n개 안에 존재 안함.
a+nd랑 a+md가 모두 소수 p의 배수면 (n-m)d도 p의 배수고 그러면 d가 p의배수이면 a랑 d가 서로소임에 모순이라 n-m이 소수 p의 배수가 됨. 그러니까 m이 a+nd부터 p개 이상으로 잡지 않으면 걔가 나머지랑 다 서로소
요는, a b랑 n의 크기에 대한 얘기가 있어야.. 모든 n에 대해 성립하냐 물으면 조금 어려워지긴 하는게 저런 p가 반복적으로 잡혀서 다음 p의 배수 전까지 잡히는지 묻는게 되는데, n이 d보다 엄청, 충분히 크게 하면 그 이후는 될거고 그 이전은 유한갠데 뭐 찾다보면 반례는 있을듯도
A+BN꼴 소수는 무한한데 당연히 존재하죠
이사람말은 n이 엄청 큰게 아니라 고정되어있는 경우에 성립하냐는 뜻인듯.
아니 정확히 말하면 n이 임의로 주어진 경우에도 성립하냐는 말인듯. a+nb꼴의 소수가 무한히 많다는 걸 알아도 n을 적절히 작게 잡으면 아닐수도 있으니까.