[일반] R^n이 컴팩트가 아니라던데

[ScARfaC..(kayuaao)]

이거 보일려고 K={B(0,k) ㄷ R^n | k in N} 들의 모임에 대해

R^n ㄷ Union K 임을 책에서 보였거든? 왜 이게 성립할수있는거임?

아님 일단 직관적으로만 이해하고 heine borel로 증명하는건가? 그럼 이걸 heine borel로 어떻게 보여?

[익명(222.118)]

x를 R^n에서 잡기만 하면 d(x, 0) < n인 n이 존재하잖어

[ScARfaCE(kayuaao)]

아 맞네 그럼 이때 왜 유한부분덮개가 없는거임?

[익명(222.118)]

maximal ball을 잡을 수 있어서

[ScARfaCE(kayuaao)]

이해가 잘안가네.. 최대 구를 잡을수있다는게 왜 유한부분덮개가 존재하지 않는다는걸로 이어지는거야?

[익명(222.118)]

그 ball의 반지름 밖에 있는 x는 R^n에 속할까?

[ScARfaCE(kayuaao)]

그러니까 만약 유한부분덮개가 존재한다하면 그러한 덮개는 k를 반지름으로하는 n차원 구가 최대인 구이고 그 범위 바깥의 원소들은 R^n의 원소가 되어서 이로인해 유한부분덮개를 못가진단건가??

[ScARfaCE(kayuaao)]

그러니까 항상 더 큰 수를 잡을수있다보니 덮개가 안된단거임?

[익명(222.118)]

구랭 어차피 K에서 유한 개 뽑아봤자 bounded란 건 못 벗어나고 archimedean property에 의해 max ball에 벗어나는 x는 계속 뽑을 수 있거든

[ScARfaCE(kayuaao)]

아아아ㅏㅏ아ㅏ 맞네 ㄱㅅㄱㅅ

[ScARfaCE(kayuaao)]

[익명(59.15)]

거리공간이 컴팩트인건 totally bounded + complete 인거랑 동치인데 complete하긴 하지만 토탈 바운드가 아님