다항함수f(x)와 1차함수 g(x)에 대해
f(x1)=g(x1) f(x2)=g(x2)이 성립하면
f(x)=(x-x1)(x-x2)P(x)+g(x)가 성립하잖습니까?

즉 어떤 다항함수가 두 점을 지난다면 그 두점의x좌표에 대해나누었을때의 나머지는 항상
그 두 점을 지나는 직선이다 라고 해석할수가있는데

예를들어 최고차항의 계수가 a이고
f(1)=2
f(3)=5
f(5)=10인 삼차함수 f(x)의 식을 결정하라고 하면

저는 f(1)=2,f(3)=5라는 조건을 활용해서

f(x)=(x-1)(x-3)(ax+b)+3/2(x-1)+2로까지는 작성할수있어요 (두 점 을 지나는 다항함수는 그 두점의 x좌표에 대해 나누었을때 나머지인 일차식이 그 두점을 지나는직선이라는 성질)

그런데 여기서 뭔가 더 식을 다른꼴로,다루기는 용이하게
작성해볼수는 없나 생각해봣는데

f(1)=2,f(3)=5,f(5)=10라는 조건을 한번에 다사용해서

f(x)=a(x-1)(x-3)(x-5)+m(x-1)(x-3)+3/2(x-1)+2로

바로 식을 작성하는게 가능하더라고요(m의결정은 수치대입으로 해결가능)

저 세가지조건을 한번에활용한건
f(x)를 (x-1)(x-3)(x-5)로 나눈다고하면 몫이 a고 나머지는 R(x), 2차이하의다항식이잖아요?

그럼 R(1)=2 R(3)=5 R(5)=10이 성립하여
이 R(x)를 다시 또 식작성을 해주면
지나는 두점 (1,2) (3,5)에대해 또나눠주면
나머지가 저두점을 지나는직선이되니
R(x)=m(x-1)(x-2)+3/2(x-1)+2로 만들어줄수가있죠

이걸 좀더일반화해볼순없을까해서

임의의 n차 다항함수 f(x)에 대해
x1,x2,...,xn을 지난다고하면

a_n(x-x1)(x-x2)....(x-xn)+a_n-1(x-x1)(x-x2)...(x-x_n-1)+....+a_1(x-x1)+a_0꼴로 표현해줄수있는거같은데
식작성을 이렇게해줄수있는게맞나요?

이런식으로 다항함수를 초기셋팅을 해주면
연립방정식(가감법)을 안풀고
단순한 수치대입으로 바로미지수를 확정시킬수있는장점이있는거같은데 저렇게작성해줄수있는게맞는지 궁금해요

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