f(x)g(x)가 x=a 극한이 수렴하면
f와g는 각각수렴한다는 거짓이죠?
당장 반례가x=a를 기준으로 구간에따라 나뉘는 함수고
좌우극한이 전부0돼버리면 되니까요
근데 f와g가 구간에따라 나뉘는 함수가아니라
하나의식으로 결정시킬수있는 함수로는 못하나싶어서
f(x)=sin(1/x-a)
g(x)=1/sin(1/x-a) 로는 못잡나?
f(x)g(x)는 sin(1/x-a)가 0이되지않는 지점에서 1이라고 할수있는데..그리고 그런점은 무한히 많지만 "이산적"으로 존재하기때문에 극한을 논할수있지않을까..싶어서요
물론 이것의증명은 대학과정일거같네요..
궁금한 것은, 이 함수 f(x)g(x)의 x=a에서의 극한을 1이다 라고 할수있습니까?입니다.
- dc official App
분모가 0이 되는 지점을 정의역에서 빼면 극한 1이 맞아요. 근데 그 이산적이란 논증 하에 극한이 존재한다는 건 틀렸음
더 확실한 예론 f = 무리수에서 1 유리수에서 -1이고, g = 무리수에서 -1, 유리수에서 1
예시로 든 함수는 점을제외한우근방좌근방을 아무리작게잡더라도항상불연속이생기는데반해 제가든예시의한수는 정의되지않는점을 제외한 우근 방 좌근방이 구간을 적절히잡으면 연속이 보장돼서 극한이존재한다고 생각했는데.. 아닌가요? 이산적인거에도 뭔가차이가잇는거같아서요 제가든예시와 저 유리수무리수 함수는 - dc App
단순히 fg가 수렴하는데 f, g는 수렴하지 않음을 묻고싶은 게 아님? 게다가 fg는 그냥 상수함수라 불연속이랑 하등 상관 없는데.. 뭘 묻고싶은 질 모르겠네
fg가 상수함수기는한데 불연속점이 아무리작은 열린구간을 잡아도 무수히많기는하지만,그각각의불연속점에대해 극한이모두 1로 일치하니까 무리수에서1 유리수에서 -1같은 함수와는 다르게 이런 함수들은 극한을 논할수잇지않을까,이산적인게무한히많지만 극한이각각 점별로잘존재하니..란 생각인데 잘못생각하는건가요? - dc App
저것도 0으로 나누는 곳만 정의역에서 뺀 경우라 그렇지 수렴성은 이산적인 것과는 상관없음. f를 x=1/n 꼴일 때만 0, 나머지 다 1로 잡으면 x=0에서의 수렴성을 논할 수 없음, 애초에 이산적을 떠나 단 한 점이라도 틀어지면 수렴하지 않는 거임.