[일반] 명제질문

[익명(39.7)]

네 자연수 a1,a2,a3,a4에 대해

sqrt(a1) +_ sqrt(a2) = sqrt(a3) +_ sqrt(a4) =/ 0

과

a1=a3,a2=a4가 필요충분조건임을 어떻게증명하나요?

- dc official App

[겨울_(silhouet72)]

저렇게만 쓰면 거짓이지. 루트2+루트18=루트8+루트8.

[익명(39.7)]

a2 a4가 a1 a3의 자연수배 관계가 아닐때에는 성립하나요?어떻게증명하죠? - dc App

[익명(39.7)]

자연수배가아니더라도...음..실수배라고하기엔 또그렇고..아무튼 저렇게 무리수의 인수?가 끄집어내지지않는 루트3+루트2=~이런 경우를 어떻게표현해야할까요.그럴때는 항상성립하는거같은데어떻게증명하죠 - dc App

[겨울_(silhouet72)]

미리 알아두어야 할 게 있는데, a, b가 서로 다른 자연수이고 제곱수가 아니면 루트a와 루트b가 정수배만큼 차이날 수 없음. 이건 간단하게 체크할 수 있고..

[겨울_(silhouet72)]

이걸 명심하고, 주어진 식의 양변을 제곱하면 2루트(a1a2)-2루트(a3a4)=a3+a4-a1-a2. 이제 "적절한 조건" 아래에서는 방금 보인 사실에 의해 a1a2=a3a4, a1+a2=a3+a4를 보일 수 있고 여기서 원하는 결론이 바로 나옴. 필요한 조건은 a1a3 또는 a2a4가 제곱수가 아니면 되겠지