0 -> A -> B -> C -> 0이 short exact sequnce이고
split이려면
B -> C가 right inverse를 가져야 한다는게
책의 정의인데
이러면 C를 B의 subgroup으로 칠 수 있기 때문이라는데요
여기서 right inverse가 homomorphism이어야 하나요?
만약 short exact sequence가 abelian group들로 이루어져있을때는
\phi
0 -> M -> N -> N/im(\phi) ->0
가 split한다는 거랑 \phi가 left inverse를 가진다는 게 동치인데 이 abelian group이 아니면 동치가 아닌것 같은데 반례가 있나요?
split이려면
B -> C가 right inverse를 가져야 한다는게
책의 정의인데
이러면 C를 B의 subgroup으로 칠 수 있기 때문이라는데요
여기서 right inverse가 homomorphism이어야 하나요?
만약 short exact sequence가 abelian group들로 이루어져있을때는
\phi
0 -> M -> N -> N/im(\phi) ->0
가 split한다는 거랑 \phi가 left inverse를 가진다는 게 동치인데 이 abelian group이 아니면 동치가 아닌것 같은데 반례가 있나요?
당연히 morphism이어야지
exact랑 split이 어떻게 다른건가요
어떻게 다르냐니 본문에 정의가 있잖아
다르게질문할게요 S_3이 Z_3와 Z_2의 semidirect product잖아요. 이경우는 exact sequence로 쓸순있지만 split이 아닌게 맞죠?
본문 정의에 따르면 그것도 split하는거 같은데. 근데 난 애초에 split short exact sequence를 module 위에서만 다루는 걸로 알고 있었는데 그냥 일반적인 group 위에서도 하나보네
group에서는 split 정의를 아주 잘 하지않으면 혼란이 생길 수 있을건데
그러네요. 1 -> Z_3 -> S_3 -> Z_2 ->1로 쓰면 Z_3 ~ (S_3 / S_2)인데 Z_3 -> S_3는 left inverse가 없는게 맞죠?
S_2는 S_3의 normal subgp.이 아니라 표현이 이상하고 Z_2가 S_3/Z_3랑 isomorphic이겠지. (물론 적절하게 Z_2, Z_3을 S_3의 subgp.으로 identify하면) 이 때 Z_3에서 S_3으로 가는 inclusion map에는 left inverse가 없음
넹 오타예요 감사합니다