8.1.5
T가 LM의 원소일 때, T의 특성다항식과 T의 최소다항식의 [F 위의 monic irreducible divisor의 집합]은 같다.
8.3.4
T가 LM의 원소일 때, f_1(t), ... , f_k(t)가 F[t]의 원소이며 monic, mutually relatively prime이라고 하자.
만약 h(t)=f_1(t)x...xf_k(t)에 대해 h(T)=0일 때,
V=kerf_1(T)*...*kerf_k(T)로 분해할 수 있다(*: direct sum).
8.3.6
(가)명제 8.1.5를 모른다고 하고, 보조정리 8.3.4를 증명하라.
(나)보조정리 8.3.4로부터 명제 8.1.5를 유도하라.
선대군 8.3.6 질문입니다.
8.1.5와 8.3.4의 statement는 위와 같습니다.
1.(가)에서 8.3.4의 본문 증명(너무 길어서 못 적음)에 8.1.5가 안 쓰인다고 생각했는데 맞나요?
2.(나)의 제 풀이가 위 사진인데요. m_T(t)가 최소다항식, phi_T(t)가 특성다항식입니다.
빨간 줄 보면 마지막에 kerg(T)=0까진 보였는데 여기서 어떻게 g(t)=1임을 보여야 할지 모르겠습니다.
그리고 이거 솔루션 있나요? 서울대 가서도 못 사나요? 솔루션 없으니까 너무 답답하네요..
(나)에서 F=R, F=C인 경우만 따지면 되고. 편의상 g(t)가 irreducible이라 가정하면 g(t)가 일차식이면 g(t)=t-a 꼴이라 kerg(T)=0이 안 되어서 모순. 남은 경우는 F=R이고 g(t)가 irreducible인 이차식인 경운데 이 경우를 잘 모르겠네요 ㅠㅠ
글씨쩐다
못쓰죠..
제가 선대를 들을때 1번 여쭤봤었는데요, '8.1.4' 가 안쓰이는 것이 문제가 맞습니다. 그리고 (나)에선 만약 g가 1차 이상이라면, 다항식의 근을 찾아 고유값으로 하고 eigenvector로 kernel의 원소를 찾을 수 있기 때문에 (필드가 R인 경우는 약간 다른 논의가 필요하겠습니다. 8.1.5 그 자체 증명의 논의를 참고하시면 될것같습니다.) 모순이 되지 않을까 싶습니다.
matrix로 보면 R인 경우가 좀 쉬운데, M(x+iy) = (a+bi)(x+iy)라 하면, [(M-aI)^2 +b^2 I] x = 0 임을 보일 수 있으므로 마찬가지로 kernel의 원소가 존재함을 알 수 있습니다. Linear map인 경우도 사실 같겠죠
답변 감사합니다 ㅎㅎ [(M-aI)^2 +b^2 I] x = 0 임을 보일 수 있으므로 마찬가지로 kernel의 원소가 존재함을 알 수 있습니다. [(M-aI)^2 +b^2 I] x = 0 여기까진 유도했는데, 여기서 kernel의 원소가 존재한다는 부분을 좀 더 자세히 설명해주실 수 있나요? M의 kernel을 말씀하시는 갓 같은데, 이 부분이 어떻게
유도되는지 모르겠네요..
먼저 t-a 가 특성다항식의 divisor이기 때문에 C에서는 a가 eigenvalue고 대응하는 고유벡터 v가 T-aI 의 kernel의 원소가 되는거잖아요? F=R 인 경우 irred poly가 실근이 없는 이차식일 경우 문제가 되는거고.. 그런데 저 이차식은 (t -a)^2 + b^2 으로 나타내어질 수 있으므로, 행렬의 경우 적절한 x를 위와같이 잡
으면 그것이 g(M) = (M-aI)^2+b^2 의 커널의 원소가 되는거죠
아 a+bi가 고유값이라는 거죠? 식 조작을 통해서 g(M)x=0을 유도한다는 내용인 거죠? 이제 이해한 것 같네요 ㅎㅎ 감사합니다!!
넵넵
그런데 8.3.4 '만' 사용하는건 조금 애매하네요ㅋㅋ