1탄) https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=nakseong&no=3501&s_type=search_all&s_keyword=%ED%83%88%EB%AC%BC%EB%A6%AC&page=1

지난번 글의 보충설명을 조금하자면,




두 위상공간이 homeomorphic하다는건 다른걸 무시하고 topology만 봤을때는 이름만 다른, 서로 완벽히 같은 집합이라는 뜻이야.




그니까 manifold란 건 R^n을 꾸기거나 줄이거나 한 patch들을 퀼트마냥 서로 이어서 전체를 만든애들이라고 쉽게 생각할수 있어.




2-sphere를 생각해보면, R^2를 축소한 거 하나랑은 1-1대응을 못시키잖아? (phi theta) theta=0인 점들은 포함못하니까(포함하면 open set이 아님). 그래서 최소 두개의 chart가 있으면 되는거고 따라서 manifold인거야.




그리고 또 2-sphere의 예시를 보면 알겠지만, chart는 근본적으로 manifold의 coordinate neighborhood의 한 점을 먹으면, 그 점의 좌표를 뱉어내는 map이라고 할수 있어. 위도와 경도의 순서쌍을 '좌표'라 하는 건 너무나도 익숙한 얘기잖아.




ex)  도 당연히 manifold이며 chart는 identity map.


이제 미분다양체, 접벡터, 미분형식, 텐서에 대한 얘기를 해보자 이거야.




2. Smooth manifolds and smooth maps


우선 전에 말했다시피 시공간은 당연히 우리에게 익숙한 R^n 공간과 국소적으로 닮아있어야해.

하지만 한발 더 나아가서 미분방정식으로 나타나는 물리법칙들을 기술하기 위해선 당연히 '미분'을 할수있어야겠지?

미분을 하기 위해선 함수의 정의역과 치역이 R^n의 부분집합이어야될거야. 그래서 당연히 이를 위해 각 점마다 그 근방에서 국소적으로 닮은 R^n 공간을 쓰는거지.

정확히는 다음과 같은 정의를 해.


저 compatible 정의가 없으면 미분이 한차트에서는 되도 의미가 없을수도 있거든.


이제 함수의 미분은 다음과 같이 정의해


원래 함수의 '미분'이라는 건 행렬로 나타나잖아? 만약 성분별로 계산을 하고 싶다면 x와 f(x)에서의 chart를 고르고 이때나오는 R^m에서 R^n으로 가는 함수를

미분해주면 되는거야. 그럼 이떄 나오는 행렬은 chart에 dependent하겠지만 어쨌든 값을 구하고 문제를 푸는데 쓸수있는거야.


(1) Tangent vectors(접벡터)


접벡터란, 간단히 생각하면, 곡선의 접벡터나 곡면의 접벡터의 n차원으로의 일반화라고 생각하면돼.

우선 예를 들어 구면의 한접에서의 접벡터들은 다음처럼 나타나지ㅇㅇ


근데 그림을 보면 tangent vector들이 point마다 2차원의 벡터공간을 이룬다는 것을 쉽게 알수 있을거야.

일반적으로 이처럼 n-manifold의 각점마다 붙는 벡터 공간을 tangent space라고 하고M라고 써.

그런데 이런 n 차원 벡터공간의 벡터들가지고 실제로 성분별로 계산하려면 알다시피 기저가 필요해

그래서 이때까지 manifold니 chart니 이런것들을 생각했던거야ㅇㅇ


근데 우리의 추상적인 정의의 다양체에서는 '각점에 붙어있는 화살표'라고 그냥 떼울수는 없잖아?


그래서 각 화살표는 그 화살표를 미분계수로 갖는 곡선이 존재한다는 점에 착안해서 다음과 같이 tangent vector를 정의할수 있어.

우선 곡선은 다음과 같이 정의돼.

그리고 접벡터는


이렇게 같은 '성분별 미분값'을 갖는 곡선들의 equivalence class로 정의가 되는거지.


근데 미적분 시간을 잘 떠올려보면, 실수로 가는 다변수 함수를 미분할때 한 방향으로 함수가 변하는 계수를 구하는 directional derivative라는게

있었단걸 기억할수있을거야. 그래서 다음과 같은 정의도 해.




즉 점에서의 '방향미분' 또는 '편미분'을 tangent vector와 identify할수 있다는거지.



(2) Differential of a smooth map


함수의 미분이 뭔지 정확히 생각해본 갤러 있으려나?

미분의 쪼갠다는 말도 안되는 얘기를 아직도 믿고 있는 사람은 없겠지?


함수의 미분이란건, 정확히 말하면 주어진 함수를 국소적으로 선형사상으로 근사시키는 과정을 뜻해.

일변수 함수를 미분하면 기울기가 나오지? 그리고 기울기를 곱하는 함수는 1차원 선형함수이잖아.

그래서 다변수 함수의 미분은 행렬로 정의하는거고.


그래서 다음과 같은 정의를 해





이상이 '미분'의 다양체로의 일반화야.



덧)미분이란건 근데 반드시 F^n에서 정의해야되는건 아니고 바나흐스페이스면 충분해. 그래서 무한차원 경우도 다루는 책들은 국소적으로 바나흐 공간과 위상동형인 걸로 정의하기도 한다.


다음시간 예고) Tangent bundle, vector fields, differential forms