실수전체에서 미분가능한 함수 f가
(-inf,a]에서 증가 [a,c]에서 감소 [c,inf)에서 증가이고
(-inf,b]에서 위로볼록하고
[b,inf)에서 아래로볼록할때 (a<b<c)
변곡점 b에대한 접선을 경계로 영역별로 그을 수 있는
접선의 개수를
곡선의 볼록 오목,증가 감소구간만의 조건만으로 접선의개수를 엄밀하게 일반화하여 논증할수있나요?
3차함수일때뿐만아니라요.
단순히 관찰을통해 접선을 움직여보며 저영역에선 3개 2개 1개야 라고 하는게아닌,엄밀하게 일반화하여 증명하려면 어떻게해야할까요?
- dc official App
쉽지 않을걸? 예를 들어 함수 그래프가 점근선을 가지는 경우엔 저렇게 안 되잖아.
그래서 실수전체에서 미분가능하다는조건을 달았습니다 - dc App
정의역이 R이라고 해서 점근선이 없는건 아닌데.. 곡선 일부가 쌍곡선처럼 생겼다고 생각해보셈
아 사선 점근선이 문제군요ㅡ.."그러한 점근선이 없는경우"로 한정하려면,f'(x)의 치역을 모든 실수로 하면 되려나요. - dc App
모든실수가아니라..변곡점에서의 값을 극소로가지고, 그이상의 모든 값을갖는거라고해야되려나요 - dc App
대충 뭘 말하고싶은진 알겠고 증명이 아주 어려운 것까진 아닐텐데 글로 쓰긴 조금 괴로울 거 같음
굳이? 그냥 점근선까지 포함해서 논의하면 되지. 그러면 아무 함수 골라서 그려보면 다 되긴 할텐데 일반화해서 설명? 해봐야 알겠지만 좀 어려울듯
저 조건을 만족하며 f'(x)=a인 음수 a가 존재하고 f'(x)의 치역이 a이상의 모든실수이면, 그런 임의의 함수에대해 저 접선개수영역논리가 완벽히맞아떨어지는데 일반화는안된다는게뭔가이상해서그럼 - dc App
미분가능라면 그냥 겁먹지 말고 펜 놀려보면 풀림. y=f(x)의 한점 x0 y0에서 접선의 방정식은 y=f'(x0)(x-x0) + f(x0) 이고, a, b를 지나는 접선이면 b = f'(x0)(a-x0) + f(x0) 이잖아? a, b값이 변할때 저 등식을 만족시키는 x0 해의 개수는? 을 묻는 문제임
그럼 b를 왼쪽으로 넘기고 g(t)=f(t)-f'(t)(t-a)-b로 둘때 g=0의 해는 증감표 그려서 풀 수 있지. 미분한번 해보면 g'=-f''(t)(t-a)가 나오고, 문제 가정때문에 저게 0인점은 변곡잠의 x좌표 c랑 a밖에 없음
그럼 c=a인 경우 따지면 g가 단조함수인걸 알아서 근이 많아야 한개고 c!=a면 역시 증감표상 t=c랑 t=a가 두 극점이 됨. 그래서 그 극점에서의 g 함수값 부호로 따져주면 근의 개수가 나옴
티지 t=a 집어넣어 보면 f(a)-b의 부호가 하나의 조건이고 t=c 집어넣어서 정리해보면 a,b 가 c에서의 접선의 방정식 위에있나 아래있나가 하나의 조건이라.. 그 부호따라서 해의 개수가 갈림. 정확한건 케이스 많이 갈려서 폰으로풀긴 좀 글코.. 그냥 펜 놀려보면 케이스 나뉘다가 풀릴거임..