Let X be a metric space in which every infinite subset has a limit point. Prove that X is separable.
Hint: Fix δ > 0, and pick x_1 ∈ X. Having chosen x_1, . . . , x_j ∈ X, choose x_{j+1} ∈ X, if
possible, so that d(x_i
, x_{j+1}) ≥ δ for i = 1, . . . , j. Show that this process must stop after a finite
number of steps, and that X can therefore be covered by finitely many neighborhoods of radius
δ. Take δ = 1/n (n = 1, 2, 3, . . .), and consider the centers of the corresponding neighborhoods
이런 문제고, 힌트 보면서 푸는데 어떻게 풀지 감이 안와서 그럼
finite number of steps에서 infinite하다라고 가정하고 contradiction찾으려고 하는데 맞는지도 모르겠고
PS. 보통 루딘이 학부에서 난이도 어느정도 될까요? 지금 고3이고 유투브 강의로 같이 보니까 볼만한거같은데
finite step 안에 안끝나면 그렇게 잡은 infinite subset이 limit point를 가질 수 없음. 둘째로 저렇게 잡은 set이 dense인걸 보어야하는데, 임의의 한점과 반지름 e가 주어질때 e보다 작은 1/n을 생각하면 그 안에 아까 잡은 sequence의 점이 없으면 모순(왜?)
2학년에 해석학 하면서 보면 쉬운 난이도는 아님. 무슨 유튜브를 보는진 모르겠지만 루딘이 어려운 이유중에 하나가 그림 없고 설명이 간결한 것이기 때문에 해설해주면 그렇게 어려운 것은 아닐거임.
혼자 해보는게 좋은데, 정 해보고 안되겠으면 댓글 내용 봐라. 사실 위에 ns가 써둔 댓글 보고 좀 생각해보면 풀긴 할거임.
암튼 앞부분은 쉽게 설명하자면 metric space X가 유계가 아니면 모든 infinite subset이 limit point를 가질 수 없다는 의미고 (예를 들면 실수 전체 집합 X에서 모든 정수의 집합은 X의 subset이고 limit point가 없음) 유계니까 유한개의 델타의 radius를 가진 neighborhood로 덮힌다고 이해하면 직관적임. 암튼 핵심은 델타를 아무리 작게 해도 X를 덮는 유한개의 N(x_j)들이 있단 말임. 구체적으로 쓰는건 스스로 해보고.
그 다음단계는 우선 dense 라는게 앞에 정의를 보면 나와있음. separable 정의랑 같이 보면 니가 여기서 보여야 할게 임의의 점이 countable한 X의 subset의 limit point인가?라는 거란걸 알 수 있을 거임. 그럼 임의의 점 p in X를 두고 적당한 e를 줘서 항상 그 안에 어떤 델타에 의해서 정해진 x_j가 들어가면 된다는 말임. 델타를 e보다 작은 값으로 둔다고 하면 d(x_j, x_{j+1})<delta<e이기 때문에 적어도 한개의 j가 존재해서 x_j in N_e(p)이라는 걸 알 수 있음.
여기서 봐야할게 n이 뭐가됐든 유한개(countable)의 N(x_j)들로 X를 덮을 수 있음. delta가 1/1일때 1/2일때 ... 1/n일때 ... 각각 {x_j}_1, {x_j}_2,... {x_j}_n, ... 이런식으로 x들의 집합들이 나오겠지? e가 작아질때마다 n을 줄여서 N(p)에 x_j가 들어가도록 했으니까 모든 n에 대해서 n에대해서 union해주면 x_j가 N(p)에 항상 포함되는걸 알 수 있고 union한건 countable이니까 결과적으로 countable한 dense set이 존재하는 거임.
댓글에다 글 쓴다고 좀 더럽게 됐는데 이상하면 말해라
델타가 d(x_j, x_{j+1}) ≥ δ 인데도 e보다 작을때 항상 들어간다고 확언할수 있음? d(x_j, x_{j+1}) ≥ e ≥ δ 이런 상황도 가능한거 아닌가?
아 힌트에는 d(x_j, x_{j+1}) ≥ δ라고 되어있네. 저렇게 쓴건 d(x_j, x_{j+1})가 하한이 0이면 유한개가 아닐 수 있으니까 하한을 유한으로 잡아준거네. 사실 별 중요한건 아닌게 (구체적으로 증명을 쓸때는 중요하겠지만) 결국에 radius가 delta인 유한개의 neighborhoods로 X를 덮을 수 있다는게 핵심이거든. Neighborhood들의 radius는 그냥 delta인거고, delta값이 어떻게 바뀌든 유한개로 덮힐 수 있음
예를 들어서 x_j 다음에는 0.5delta<d(x_j, x_{j+1})<delta인 x_{j+1}을 선택하는 식으로 계속하면 되는거지. 물론 X=[0,1]U[2,3]같이 생긴 경우에 delta가 0.1이고 x_j=0.95다 그러면 0.5delta<d(x_j, x_{j+1})<delta인 x_{j+1}가 존재하지 않을 수 있는데, 이런 경우를 잘 처리해주면 결과적으로 유한개로 X를 덮게 될거임. 어쨌든 radius가 delta인 유한개의 neighborhood들로 X를 덮을 수 있는걸 보이는건 어려운게 아님
<이거 계속 깨지는데 이거 왼쪽 부등호임