수학자들 중에서는 자기 이름을 직접 말하지 못하는 사람이 많다.

학회에서 발표할 때 자기 결과를 발표할 때면 자기 이름을 이니셜 한 글자로 줄인다던가..

하여간 부끄럼이 많은 사람들이 좀 있다.


Paul Terwilliger 교수님은 Terwilliger Algebra라는 graph에 대응하는 algebra를 발명(정의? 발견?)하셨는데,

다른 사람은 전부 Terwilliger Algebra라고 부르지만 본인은 무조건 The Subconstituent Algebra라고 부른다.


Edwin van Dam 교수님과 Jack Koolen 교수님은 2005년에 DRG의 새로운 family를 발견하셨는데(Invent. Math)

이 그래프는 Grassman graph(의 특정 경우)와 intersection array(대충 스탯이라고 보면 된다)가 일치한다!

Willem Haemers(van Dam 교수님 스승), Andries Brouwer(Koolen 교수님 스승)이 쓴 교과서인 Spectra of graphs를 보면,

이 그래프의 이름이 Van Dam-Koolen graph로 소개되어있다.

하지만 저 두 분은 이 그래프를 Twisted Grassman graph라고 부르고, 이 이름이 어느새 정착된 모양이다.


저렇게 이명이라도 있으면 자기 이름이 들어가지 않는 쪽을 택해서 부르면 될텐데..

Spectral graph theory 중에서 매우 유명한 정리 중 Alon-Boppana(-Serre) 정리가 있다.

정리를 대충 써보면 다음과 같다.


정리. (Alon-Boppana) k가 3 이상의 정수일 때, n개의 꼭지점을 가지는 k-regular graph의 두번째로 큰 eigenvalue는

2sqrt(k-1) (1-O(log(k-1)/log n) 이상이다.


이걸 유명한 Serre 아조씨가 손을 좀 얹어서 개조해서 Alon-Boppana-Serre 정리라고도 한다.


정리. (Serre) 임의의 e>0에 대해서 상수 c가 존재해서 n개의 꼭지점을 가지는 k-regular graph의 eigenvalue 중에서

(2-e)sqrt(k-1) 이상인 놈의 비율은 최소 cn이다.


뭐 대충 얘기하자면 n개의 꼭지점을 가지는 k-regular graph의 두번째로 큰 eigenvalue의 크기가,

n이 충분히 크면 2sqrt(k-1) 이상이 된다는 말이다.

다르게 보면 두번째로 큰 eigenvalue의 크기가 2sqrt(k-1) 미만인 그래프는 유한하다는 말도 된다. (내가 관심있는 사실)


k-regular graph는 무조건 k를 eigenvalue로 가지고, bipartite인 경우는 -k도 eigenvalue로 가진다.

k나 -k가 아닌 eigenvalue 들의 절대값이 2sqrt(k-1) 이하인 그래프를 Ramanujan graph라고 부르는데,

이 그래프의 존재성 문제가 spectral graph theory에서 가장 핫한 문제 중 하나다. 최근 결과는


k가 3 이상일 때, bipartite인 k-regular Ramanujan graph는 무한하다. (Marcus-Spielman-Srivastava, Ann. Math, 2015)

근데 이 construction이 explicit하지않은 '어떤 signing의 존재성'에 의존하는거라.. non-bipartite나 explicit한거 찾으면 더 좋을거임.


뭔가 말이 길어졌는데, 이 정리를 공부하다보면 레퍼런스에서 보게 되는 논문이 다음 두 논문이다.

A. Nilli, On the second eigenvalue of a graph, Discrete Math., 91:207-210 (1991)

A. Nilli, Tight estimates for eigenvalues of regular graphs, Electron. J. Combin., 11:#N9 (2004)


논문을 읽고, 첨 들어보는 이름이라 mathscinet에서 이 사람 이력을 찾아봤다. 그러자 나온 것은..

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Alon-Boppana 정리의 Noga Alon 본인이었다 헐....

자기 정리 이름을 직접 언급하기가 부끄러우셨거나/논문이 너무 짧아서(둘 다 3페이지 정도) 부끄러우셨나?

근데 Acknowledgement에 이렇게 써놓으셨다. 이러면 나중에 들켰을 때 더 부끄러울거 같은데..

- I would like to thank N. Alon for fruitful discussions and for his help in writing this manuscript.


하여간 논문 낼 때 헷갈리게 가명으로 내지 맙시다.