C([0,1],R) ={ f : [0,1]->R ; f는 연속함수}는

ring이 됩니다. 연산은 f의 argument x를 고정시키고 더하거나 곱하는 연산을 생각합니다.

이 ring은 factorization into irreducible이 불가능합니다.

(x^1/2) < (x^1/4) < (x^1/8) < ....
(<를 inclusion 대신쓰도록 하겠습니다...)
와 같이 a chain of ideals를 끝도 없이 쌓아올릴 수 있습니다.

따라서 factorization into irreducible이 terminated 되질 않습니다.

이와 다르게

Z[x1,x2,...]는 factorization into irreducibles가 가능합니다.

이 ring의 임의의 원소 f를 잡으면

f가 포함하는 변수가 x1, ..., xn이라고 하면

f를 Z[x1,...,xn]의 원소로 간주할 수 있습니다.

그리고 이 새로운 ring은 Noetherian이어서

factorization이 가능합니다.

하지만 원래 Z[x1,x2,...]는 non-Noetherian입니다.

(x1) < (x1,x2) < ...와 같이 stabilize하지 않는

ascending chain이 있기 때문입니다.

다시 위의 내용을 정리하자면

Noetherian이면 factorization이 가능하지만

factorization이 있다고 Noetherian인 것는 아니다.

입니다.