4챕 22번(거리 공간에서의 normality)에서 봤듯 R의 닫힌 임의의 부분집합 E에 대하여 f(E) = {0}인 연속함수 f가 존재한다. 그러면
f(E) = {0} 이고,
임의의 n에 대해 f는 n번 미분 가능한 함수
은 존재하는가? 를 묻고있어요
물론 상수함수 f = 0을 잡으면 조건은 만족해요
그런데 문제에선 정확히 E만을 zero set으로 가지고 n번 미분가능한 함수가 존재하는지 묻는 거 같아서..
근데 E도 잡기 나름이라(cantor set같은..) 이럴 땐 어떻게 대처해야할지 모르겠네요
힌트 좀 주실 수 있을까요?
임의로 미분해도 [a, b] 양 끝점에서 항상 미분값을 0으로 갖는 함수가 있을까요?
E까지의 거리를 함수로 잡으면 안되나? - dc App
E의 경계점에서 미분 불가능할 거 같아요
interval 같은 경우는 cutoff function 같은거 쓰면 되는데 임의의 닫힌집합에 대해서도 되는지는 모르겠다 - dc App
말씀해주신 그 함수를 기저삼아 E의 boundary마다 이어주면 될 거 같아요 감사합니다
일단 문제에서 such an f라 했으니 zero set이 E인 함수를 말하는게 맞음 무한번미분 가능한 경우에선 생각나는건 e^{-1/x}을 잘 변형하면 될것같은데. 어차피 E의 여집합은 open이니깐 countably many disjoint open interval들로 덮을수잇고 ㅇㅇ
e^(-1/x) 잘 평행이동시켜서 두개씩 곱하면 될 거 같아요 감사합니다
n번까지만 미분 가능한 거면(x-a)^n 꼴 이용해도 됨