고1 x^3=1의 한 허근 관련문제 풀이하면서
복소평면을 이용한 풀이로 관련문제들을 다 비슷하게 변환하니까 엄청 쉬워지더라구요.
드 브아무르 정리와 오일러 공식같은것도 조금 배웠어요
근데 여기서 한가지 추측을 해 봤는데
x^n=a 꼴의 n개의 근은 모두 복소평면의 원점으로부터 거리가 같다
(n은정수)
라는 추측을 세웠습니다.
이걸 증명하고 싶은데 어떻게 증명할 수 있나요?
만약에 틀린 추측이라면 왜 틀렸는지 궁금해요
- dc official App
z^n=a에 z=rcos세타+irsin세타로 놓고 드무아브루 공식 써서 방정식을 풀어보셈 그럼 근들이 다 같은 원에 박히게 됨
아니면 z^n=a 양변에 절대값 씌우면 ㅣzㅣ^n=ㅣaㅣ니까 ㅣzㅣ=ㅣaㅣ^1/n이 돼서 어짜피 근은 이식을 만족해야 하니까 원점에서 같은 가리에 있지않나
니가 말한 공식 2개 쓰면됨
아니 그니까 엄밀한 증명이 그걸루만 됨?
양변에 절댓값 취하면 |z|가 딱 하나로 결정되니까..
아하 그러면 복소수의 절대값은 원점으로부터의 거리를 말히는 건가요?
sqrt(복소수*켤례)
그렇지. a+bi랑 원점 사이의 거리는 sqrt(a^2+b^2)인데 이게 정확하게 절댓값이잖아
절댓값이 곱에서 보존된다를 증명해주긴해야함(그냥 노가다지만)