이차함수 y=x²-2kx+k²-k-2의 그래프가 실수 k의 값에 관계없이 y=mx+n에 접할때, 4mn을 구하는 문제인데, 저는

mx+n=x²-2kx+k²-k-2으로 놓고, 정리해주면 x²-(m+2k)x+k²-k-2-n=0
이 식은 항상 x축에 접하므로 판별식이 0이라는 걸 이용해서
(m+2k)²-4k²+4k+8+4n=0이 k의 값에 관계없이 성립해야하므로
m²+4mk+4k+8+4n=0, 4k(m+1)+m²+8+4n=0이므로 m=-1, n=-9/4라는 식을 도출해서 4mn=9라고 구했는데, 유튜브를 보니

이런식으로도 문제를 풀더군요.

먼저 y=x²-2kx+k²-k-2를 y도 이항해주고, k에 관한 내림차순방정식으로 정리하면
k²-(2x+1)k+x²-y-2=0
여기서 k에관한 2차식으로 보고 판별식=0 사용
(2x+1)²-4x²+4y+8=0
4x+4y+9=0
따라서 y=-x-9/4
m=-1,n=-9/4, mn=9로 풀던데 저풀이에 아무런 설명이 없이 저렇게 그냥 하기만하면 된다고해서
왜 저렇게 해도 되는지 에대한 의문이 듭니다..

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