많이들 알겠지만 변수 n개 (x_1, ..., x_n)이 주어져있을 때 symmetric polynomial of degree k는 k차 동차다항식 중에서 자연스러운 S_n-action에 대해서 불변인 다항식을 뜻한다. 예를 들면, x_1+...+x_n은 1차 symmetric polynomial이고, x_1^2+...+x_n^2은 2차 symmetric polynomial이 된다. 이들은 Elementary symmetric polynomial


e_0 = 1, e_1 = x_1+...+x_n, e_2 = sum (x_i * x_j , i


들의 다항식표현이라는 것도 잘 알려져있지 (fundamental theorem of symmetric polynomials).


Elementary symmetric polynomial 외에도 Power sum symmetric polynomial이라던가, complete homogeneous symmetric polynomial이라던가... 여러 형태의 symmetric polynomial이 존재한다. k를 고정하고 k차 symmetric polynomial을 생각하면 벡터공간을 이룰텐데, 이 vector space basis는 Schur polynomial들로 택할 수 있겠지. 즉 서로 독립인 k차 symmetric polynomial들을 k의 partition에 대응시킬 수 있을 것이다.




이제 변수 n개 (y_1, ..., y_n)을 추가하고, x_i의 차수 (multidegree)를 (1,0), y_j의 차수를 (0,1)이라 하자. S_n-action은 x와 y의 index를 동시에 permute했으면 좋겠어 (즉, index set {1,...,n}*{1,...,n}에 diagonally act). S_n-action에 불변인 동차다항식들을 몇 개 생각해보면,


(1,0)차 symmetric polynomial : x_1 + ... + x_n

(0,1)차 symmetric polynomial : y_1 + ... + y_n

(2,0)차 symmetric polynomial : e_1(x_1, ..., x_n)^2, e_2(x_1, ..., x_n)

(0,2)차 symmetric polynomial : e_1(y_1, ..., y_n)^2, e_2(y_1, ..., y_n)


정도가 있겠지. 문제는 (1,1)차 동차다항식인데, 당연히 더 큰 action인 S_n*S_n에 대해서도 불변인 e_1(x)*e_1(y)는 포함되겠지만, 또한 sum (x_i*y_i) 역시 이 S_n의 diagonal action에 대해 불변이다. 


이런 action에 대해 불변인 "bigraded symmetric polynomail"들의 ring의 generator -- 즉, elementary symmetric polynomial의 일반화는 어떻게 택할 수 있을까?

또, (a,b)차 bigraded symmetric polynomial의 vector space basis는 어떻게 잡는 것이 좋을까? (Schur polynomial의 일반화) 이것도 어떤 주어진 (a,b)의 partition-like한 개념에 대응시킬 수 있는가? 




분명히 이런 종류의 발상이나 선행 연구가 다분히 있을 것 같은데, 좋은 키워드가 잘 생각나질 않네. 까먹기 전에 일단 대충 끄적거려놓고 내일 더 찾아봐야지.