내용자체는 A가 n차 정사각행렬이고 A가 strictly upper triangular matrix 일때 A^n=0임을 증명하는건데
갑자기 증명과정에서 i<=j+k-1이 왜 나오는거임?
진짜 뜬금없어서 이해가 잘안감
[일반] 이건 갑자기 왜 튀어나온거지?
ScARfaC..(kayuaao)
2020-02-27 05:26
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그냥 암거나 strictly upper triangular matrix 잡고 거듭제곱 계속 해보면 할때마다 0인 대각선이 위로 올라가는걸 관찰할 수 있음
저게 항상 성립하는걸 보일순없나?
혹시 귀납가정을 저 부등식이 성립할때 A^k의 성분이 0 될것이다. 라고 k=1일때 저 부등식이 성립을 하니까 '그냥' 가정한 뒤에 k+1을 대입해보니 i<=j+k-1<=j+k 이므로 부등식은 됐고 이제 A^k+1의 i,j성분이 0임을 보여야하겠지 그럼 이걸 보였고 또 적당히 귀납가정 이용해서 증명하면 됨?
ㅇㅇ 저 풀이 정확하게 안읽어봤긴한데 대충봤으땐 그런풀이같음
어 근데 쟤 풀이 7번째 줄에서 l<=j이여서 alj가 0이 된다 하는거 오류아닌가? 가정이 upper triangular이니까 l>=j 이여야 a_lj=0일텐데
strictly lower triangular matrix일때 증명인듯.
아 AB도 upper인거 이용해서 i에 관해서 정리했다
아 걍 부등호 졸라 많아서 쓰면서 착각한거일수도. 첨에도 i>=j+k-1 이라 해야 맞는거같은데
첨에 얘가 strictly upper라고 적었으니 그건 틀리진 않았을듯싶은데
아니 i+k-1<=j인가 나도 헷깔리네 ㅋㅋㅋ
아 저거 말고는 다른 풀이가 안보이는데 좆됐나
그냥 부등호 바꿔서 이해해보셈. 저거 풀이 방향은 맞는데
3번째 줄에 i≥j-k+1 일 때 a^k_ij=0 인게 맞고 11번째줄도 l≥j 일 때 a_{li}=0 인게 맞음.
근데 당장 (012)만 봐도 일반적으로 i>=j+k-1가아닌데? 003 000
i≥j-k+1 이라고
아 맞네 근데 l<=j 이면 alj가 0인건 아직도 오류인거아닌가? 이부분은 i에 대해서 합을 쪼개서 보는게 맞는거같은데
그것도 l≥j 일 때 a_{li}=0 인게 맞다고. 내가 쓴 댓글 안읽음??
아 컴퓨터로 봐서 11번째줄이 뭔가했네
근데 저기선 a_li가 어디서도 안나오는데?
그냥 얘가 lower일때 증명해놓고 upper인줄 알았나봄
첫번째 시그마 밑에줄
그건 a_l'j'아니야??
아 그렇네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ롤하면서 댓다는중이라 i랑 j를 구별못했음
아 시발 첨부터 꼬여가지고 더 이해안가네 일단 세 번째 줄에 부등호 틀린건 맞지?
그냥 저거 transpose 취해서 이해하면 끝
아직 난 책에서 tranpose를 안배워서 그럼 그걸 안쓰고 해야하는데
아니 저 풀이에서 i랑 j를 바꿔서 이해해보라고
혹시 너가 저거 정리해줄수있음?
저거의 좀더 쉬운 증명은 케일리헤밀턴정리 배우면 알수있음
induction으로 더럽게 했네요, 비둘기집의 원리 쓰면 한줄증명 가능한데
어 그거 어떻게 하는거죠
(A^n)_{ij} = \sum_{k_1, \cdots, k_{n-1}} A_{i, k_1} A_{k_1, k_2} \cdots A_{k_{n-1}, j} 비둘기집의 원리에 의해 {i,k_1,\cdots,k_n-1,k} 중에 적어도 두개 이상은 같아야됨, 이게 strictly upper triangular 조건에 의해 곱하는것들중에 적어도 하나가 0이라는걸 의미
식이 이해가 잘안가는데 뭐죠 저게?
한줄은 좀 오바고 두줄정도 되겠네요,
이해했습니다 정말 감사합니다 이게 훨씬 간단하네요