대수기하에서는
아는 사람은 알다시피
variety를 고려하는데
이는 x,y,...,z를 n개의 변수를 갖고 k라는 field위에서의
polynomial f들의 부분집합 S에서
이 부분집합 S에 속하는 모든 f들이 공통으로 갖는 0점들의 집합을 Z(S)로 나타낸다.
문제는 field k가 algebraically closed가 아니면
S가 f라는 원소 하나로만 이루어졌더라도
Z(S)가 empty일 수 있다. 이럼 사실 재밌는 기하를 할 수가 없다.
하지만 algebraically closed라면 S가 f라는 원소 하나로 이루어졌더라면 Z(S)는 nonempty다. 이는 algebraically closed의 정의 자체에서 따라나온다.
그렇지만 variety는 좀 더 일반적으로 많은 f들의 공통된 영점을 고려한다는 것이다.
그럼 k에 어떤 추가적인 조건이 있어야 Z(S)가 nonempty임을 보장할 수 있는가?라고 물을 수 있다.
신기하게도 k에는 별다른 추가조건 없이 algebraically closed면 Z(S)가 nonempty임이 보장된다는 정리가 있다.
이것이 바로 Hilbert's Nullstellensatz다.
weak form을 좀 더 정확히 기술한다면 우리가 고려하고 있는 S를 ideal로 보았을 때, 이 ideal이 1을 generate할 수 없으면 Z(S)는 nonempty임이 보장된다는 것이다.
그럼 이제 방향을 틀어 algebraically closed가 아닌 경우는 어떻게 다루는가?에 대해 물을 수도 있다.
이런 케이스를 다루기 적합한 것이 grothendieck가 생각해낸 scheme이라는 개념이다.
아는 사람은 알다시피
variety를 고려하는데
이는 x,y,...,z를 n개의 변수를 갖고 k라는 field위에서의
polynomial f들의 부분집합 S에서
이 부분집합 S에 속하는 모든 f들이 공통으로 갖는 0점들의 집합을 Z(S)로 나타낸다.
문제는 field k가 algebraically closed가 아니면
S가 f라는 원소 하나로만 이루어졌더라도
Z(S)가 empty일 수 있다. 이럼 사실 재밌는 기하를 할 수가 없다.
하지만 algebraically closed라면 S가 f라는 원소 하나로 이루어졌더라면 Z(S)는 nonempty다. 이는 algebraically closed의 정의 자체에서 따라나온다.
그렇지만 variety는 좀 더 일반적으로 많은 f들의 공통된 영점을 고려한다는 것이다.
그럼 k에 어떤 추가적인 조건이 있어야 Z(S)가 nonempty임을 보장할 수 있는가?라고 물을 수 있다.
신기하게도 k에는 별다른 추가조건 없이 algebraically closed면 Z(S)가 nonempty임이 보장된다는 정리가 있다.
이것이 바로 Hilbert's Nullstellensatz다.
weak form을 좀 더 정확히 기술한다면 우리가 고려하고 있는 S를 ideal로 보았을 때, 이 ideal이 1을 generate할 수 없으면 Z(S)는 nonempty임이 보장된다는 것이다.
그럼 이제 방향을 틀어 algebraically closed가 아닌 경우는 어떻게 다루는가?에 대해 물을 수도 있다.
이런 케이스를 다루기 적합한 것이 grothendieck가 생각해낸 scheme이라는 개념이다.
정말 보배롭습니다 정말 위대합니다 선생!
대관절 이게 왜 기하인가요 ㄷㄷ
간단한..건가?
ㅇㅇ 댓글엔 답을 잘 안달지만 뭔가 오해가 있는 것 같아서 사족을 남기자면... - 그럼 이제 방향을 틀어 algebraically closed가 아닌 경우는 어떻게 다루는가?에 대해 물을 수도 있다. Non-algebraically closed field 위의 기하학에 대해서는 이미 Noether, Zariski 등 유수의 학자들에 의해 그 필요성과 중요성이 대두되어 왔습니다. 실제로 다양한 이론과 연구 성과도 발표되었구요. Scheme theory의 필요성과는 별개로, Grothendieck의 이론이 이런 부분만을 커버하기 위한 이유는 아니란 점을 사족으로 남겨둡니다.
네 맞습니다. 제가 표현한 것이 오해를 불러일으킬 수도 있다는 걸 인지하지 못 했습니다.