복소수 x,y,z,w 가 다음 조건을 만족시킨다.
[조건]
(가) x+y+z+w = 4
(나) xy+xz+xw+yz+yw+zw = -1
(다) xyz+xyw+xzw+yzw = 3
(라) xyzw = -1
x^3 + y^3 + z^3 + w^3 의 값은?
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복소수 t에 대한 방정식 (t-x)(t-y)(t-z)(t-w)=0
은 x,y,z,w를 근으로 가짐
주어진 조건을 이용하여 식을 전개하면
t^4 - 4t^3 - t^2 - 3t - 1 = 0
t = x,y,z,w이므로 x를 대입했을 때
x^4 - 4x^3 - x^2 - 3x - 1 = 0
xyzw≠0 이므로 x≠0
식의 양변을 x로 나눠서
x^3 = 4x^2 + x + 3 + 1/x
t = x,y,z,w이므로 y,z,w도 이와 같이 한 뒤
네 식을 더해서 연립해줌
x^3+y^3+z^3+w^3= 4(x^2+y^2+z^2+w^2) + (x+y+z+w) + 12 + (1/x + 1/y + 1/z + 1/w)
x^2+y^2+z^2+w^2 = (가)^2 - 2(나) = 18
1/x + 1/y + 1/z + 1/w = (다)/(라)= -3
x^3+y^3+z^3+w^3 = 72+4+12-3 = 85
풀이 올려주셔서 감사드립니다.