혹시나 해서 써놓음: rref는 row reduced echelon form의 약자
체계적으로 써 내려가는 방법이 떠오르질 않네
[일반] 임의의 행렬에 대해 rref의 존재성 어떻게 보임?
ScARfaC..(kayuaao)
2020-03-03 07:32
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존재성은 가우스 조르당 알고리즘 유일성은 행동치인 행렬의 행벡터들이 생성하는 부분공간이 똑같음
근데 서로 다른 rref의 행벡터들이 생성하는 부분공간은 서로 다름
존재성 증명이 알고리즘 때문에 자명하다. 이렇게 써놓음 끝이야?
임의의 행렬을 가우스 조르당 알고리즘 돌린 결과가 rref라는걸 증명하면 존재성 증명이 되지.
그건 알겠는데 그걸 어떻게 써 내려가야 하는거임?
인석-리 3.8보셈
관찰 3.8.2 보니까 자명하다 카던데 내 머리는 이게 자명하다고 받아드리질 못하고있음
열 개수에 대한 귀납
어떻게??
행렬 적당히 큰 거 아무거나 3개쯤 잡고 직접 rref로 바꿔보면 자명하다는 걸 알게 됨
1.알고리즘이 존재하고 2. 그게 항상 유한번 안에 끝나고 3. 끝날 때는 항상 rref가 나옴을 보이면 됨. - dc App
굳이 증명한다면, 위에 말대로 열에 대한 귀납법을 쓰면 됨. n by m 행렬이 있고, 이 중 k(<= m) 열까지 rref를 만들수 있다고 하고(즉 n by k submatrix가 rref) 그런 k중 가장 큰 k를 잡자(없으면 0). k가 0이 안되는건 따로 보이고, 이제 k가 m이 아니라면 그 다음열 어딘가에는 rref의 조건을 깨트려야함.
k가 0이 안되는걸 어떻게 보이는거야?
1열은 rref로 만들수 있음을 보이면 되지. 역시 알고리즘 돌려서 다 0이면 끝, 아니면 nonzero 맨 위로 올리고 나머지 0으로
아 피곤해서 딴걸 물었네 그게 아니라 k가 m이 아닌걸 왜 고려해야하는거고 k가 m이 아니면 왜 k 다음열 어딘가엔 rref의 조건이 깨지는거야? 첫 번째질문은 k<=m 이니까 k<m인 경우를 보는거라서 그런건가?
rref를 전체 다 만드는게 우리 목표잖아. (즉 k=m 을 증명하고 싶은거) 근데 그게 안된다면, 예를들면 m이 100이라면, 1열에선 알고리즘 돌려서 되고.. 100열까지 못하면.. 어디까진 되고 어디서부턴 안되는, 예를들면 51열까진 되고 52열이후에선 rref를 만들수 없는 그런 k가 있잖아
아 k까지만 rref를 만들수있다 했으니까 적어도 m열에서는 rref의 조건이 깨져야하는건가?
그럼 51열까진 rref가 돼있다 가정하고 52열까지 알고리즘을 확장시켜서 아까 51열이 최대라는거에 모순을 만드는거. 그럼 100보다 작은 어떤 열이 k더라도 모순일테니 k=100일수밖에 없고 그건 전체 다 rref 된다는뜻임
말은 거창하게 했는데 그냥 수학적 귀납법이랑 다름없어. k<m이면 k+1열까지 rref가능. 끝이 있는 수학적 귀납법
그럼 k열 이전에 마지막 pivot이 t번째 행에 있다고 하면 k+1번째 열에서 t보다 큰 행에 nonzero entry가 존재(아니면 k가 k+1로 늘어났어야 함) 이제 알고리즘 돌여서 k+1행으로 늘릴 수 있으니 모순
이해가 안가는게 일단 k중에서 최대인걸 골랐으니 이걸 k0으로 두고 k0열 이전에 마지막 pivot이 t행에 있다고 할수있단건 알겠음 k0-1 열의 pivot을 가져오는거지? 그럼 k0+1 번째 열에서 t보다 큰 행에 non zero entry가 존재할수있단걸 왜 알수있는거야? 근데 갑자기 '이전'이라는 표현을 왜 쓰는거야? 그냥 k0열의 pivot이 t행에 있다하면 되는거아닌가?
아니 k0열까진 이미 rref가 됐거든. k0열이 pivot 열일수도 있지만 다른 열일수도 있잖아. 예를들어 1234//0011 이라 치고 k0=2라고 했으면 pivot열은 1열이지. 근데 3열을 바라봤을때 2행이 비어있으면, 이미 rref 된거잖아. k0=3으로 늘렸어야지. 근데 그게 아니라면. 2행이 차있어야하고. 그럼 그 행 기준으로 알고리즘 돌리라는
아 알거같다
아니야 모르겠다 아 미치겠네
그냥 알고리즘을 k열까지 돌렸는데 k+1열 알고리즘을 어떻게 수식으로 적어야할지 직접 적어봐. 읽어서 이해가 안되면 혼자 만들어가다보면 이해가 돼
진짜 미안한데 만약 k0+1열의 성분들이 모두 0이면 k0+1까지 rref로 만들수없는거야? 또 nonzero entry가 없으면 k0가 왜 k0+1로 늘어나는거야? 답없다 싶음 너가 했던 증명을 다시 정리해서 줄수있어? 천천히 생각해보려고하는데 아님 그 증명이 있는 pdf같은게 있으면 알려주라
k0+1열이 모두 0이면 이미 k0+1 열까지 rref 된 상태잖아. 그럼 k0이 최대란거에 모순이지.
그걸 증명하는 거잖아. k0=m 인걸 알면 끝이지. 모르는척 하고 k0까지 할수 있다고 할때 k0+1 열을 하는법을 말해줘야지
k0+1열에 적어도 1개 이상의 non-zero entry가 있을때는 이걸 어떻게 연산을 해야하는거야?
너가 알고있는 그 rref 알고리즘 돌리면 되고
그니까 알고리즘을 어떻게 돌려야하는지 모르겠음 상수배해서 t보다 큰 행의 0아닌 성분을 1로 만들고나서 위 아래 행들을 전부 0으로 만들어야 하잖아 이걸 어떻게하는거야?
계속 해봤는데 뭐가 계속 걸리던데
rref를 모르는거? nonzero인 row가 있으면 줄을 바꿔서 그 행을 t+1행으로 옮긴다. 상수배를 하여 시작값을 1로 만든다. k0+1열에 있는 다른 행에 nonzero값이 있다면 t+1행의 상수배를 그 행으로부터 뺀다.
연산자체는 알고있는데 t보다 큰 행을 y라 하면 y행 k0+1열을 일단 상수배 해서 1로 만들고 이 1을 그 행에서 최초의 1로 만들어야하고 1을 기준으로 위 아래의 성분을 0으로 만들어야하잖아 이게 너무 추상적으로 되어버려서 연산을 어떻게 시행해야할지 체계적으로 적을 수 가 없어서 그래
그보다 구체적으로 한다는게 뭘 원하는지 모르겠는데. Elementary row matrix들의 곱으로 적어주길 바라는거?
아 그래 ㅇㅇ 맞아 그렇게 표현해주면 좋겠음
S(x, y) 를 x, y행 바꾸는 operation, M(x, a)를 x행에 a 곱하는 operation, E(x, y, k)를 x행의 k 배를 y행에 더하는 operation이라고 하고 앞에 k열에 대해서 S(t+1, y) M(y, 1/a_yk) 를 곱해준 다음, 그 결과가 b_ij 일때 E(t+1, v, -b_vk)를 v가 t+1일때만 빼고 다 곱해주
면 됨. S(x, y) 는 i j 성분이 delta ix delta jy + delta iy delta jx 인 n by n 행렬이고 M(x, a) 는 diag 1,....,a,... 인 대각행렬, 뭐 근데 그냥 아래말대로 그런거 다 따질거면 Friedberg 찾는게 안나을까 싶다
그냥 자명하다고 받아들여야겠다 포기함 그냥
프리드버그에 있음