[일반] a의 0제곱이 1이란 걸 논리적으로 설명 가능함?

[익명(58.121)]

나눗셈 말고 설명할 방법 없음? 내가 궁금해... 분명 a의 0제곱은 a를 0번 곱했단 뜻이니까 a가 존재하면 안 된다는 건데 왜 1이 될까?

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

그게 가장 자연스러운 정의니까. a^n(n는 자연수)에 대해서 지수의 여러 법칙들을 증명했을거고, 이것들이 성립하게 하는 a^0의 값은 1이니까

[익명(220.70)]

그게 수학의 맛 아니겠냐 ㅋ 곱셈도 덧셈에서 나온 것처럼(확실친 않음). 2x4는 2+2+2+2잖아, 그럼 2x1.34는 뭘까..? 2를 1.34번 더한 건 아니잖아 0.34번이라는 게 없으니까. 그래서 곱셈의 정의를 확장한 것처럼 a의 0제곱이 1인 것도 비슷한 이유 아닐까?

[익명(116.124)]

a^x * a^y = a^(x+y) 에서 a^x * a^y = a^x 가 된다면 a^y가 항등원이여야 되고 x+y = x 가되니까 y=0 이라고 표현하는게 논리적이지 않을까

[익명(223.38)]

형식불역의원리

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

덧셈 실수군에서 곱셈 양의 실수군으로 가는 군 동형사상 f : <R,+> -> <R^{+},×> f(x)=a^{x} (단,a는 실수인 상수) 에서 항등원은 항등원으로 사상되니까 f(0)=a^{0}=1

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

맨처음 a^{0} =1 이라고 정한건 글쓴이 생각대로 자연수의나눗셈을 정수의 지수법칙으로 확장하는 자연스러운 결과였어 2^{0}=1 을 정의하기 훨씬 전에 2÷2=1 이라는게 자연스러우니까. 애초에 정수에 사칙연산의 탄생은 자연수의 사칙연산 결과와 결함,교환,분배법칙을 보존하면서 확장해서 인위적으로 생각한거여서... 자연수의 지수법칙확장에 의해

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

a^{0}=1 (단 a!=0)이 된것이 먼저고 이를 대수적으로 보인것 뿐이지

[겨울_(silhouet72)]

예를 들어 1a=a이라는 식은 직관적으로 "a를 1번 더하면 a이다"라는 건데, 더하기란 건 애초에 숫자 두 개 사이의 연산이니 이 설명은 부족하지. 어디에 a를 1번 더하는지가 명확하지 않잖아. 정확한 설명은 "0에 a를 1번 더하면 a이다"야. 덧셈의 시작점은 0이라고 간주하는 거임. 그래서 0a는 0에 a를 아무것도 더하지 않으니 0이 되는거고.

[겨울_(silhouet72)]

비슷한 맥락으로, a^1=a라는 식도 해석할 수 있음. "a를 1번 곱하면 a가 된다"는 건데, 어디에 a를 1번 곱하는 걸까? 당연히 1이지. 이 경우 정확한 설명은 "1에 a를 1번 곱하면 a이다"고. 이 맥락으로 보면, a^0은 1에 a를 하나도 곱하지 않았으니 그대로 1이 되어야 함

[겨울_(silhouet72)]

왜 덧셈은 0을 기준으로 더하고, 곱셈은 1을 기준으로 더하냐면, 0은 덧셈의 항등원이고 1은 곱셈의 항등원이니까. 그래야 1a가 a가 되고 a^1도 a가 됨

[익명(223.62)]

이게 좀 와닿네

[익명(58.121)]

모두 고마워!!! 모자란 머리 굴려서 이해해볼게