SO(2), S^1, U(1)이 matrix group으로서 iso라는 걸 증명하라는 문제임
SO(2)={[cosx, -sinx; sinx, cosx]l0≤x≤2pi}, S^1={(cosx, sinxl0≤x≤2pi}, U(1)={e^(xi)l0≤x≤2pi}니까
phi: SO(2)->S^1을 phi([cosx, -sinx; sinx, cosx])=(cosx, sinx)로 정의하면 phi가 gr iso인 건 쉽게 알 수 있는데
phi가 conti임을 어떻게 알지 모르겠음
가령 {[cosx, -sinx; sinx, cosx]la＜x＜b} 이런 집합이 왜 open인지 모르겠네요
책에서 O(n)이라든가 GL_n(R) 같은 group은 det나 다른 방법을 통해서, 즉 연속함수와 우리가 위상 구조를 잘 아는 집합을 동원해서 open/cl 등을 파악했는데
SO(2)에 대해서는 {[cosx, -sinx; sinx, cosx]la＜x＜b} 이런 집합이 open임을 보일 때 어떤 함수를 써야 할지 모르겠음
직관적으로만 아는 상태라서 답답하네요
(x,y) -> [x, -y; y, x]가 연속인지를 묻는데, 저게 연속이라는건 각 coordinate 함수 x, -y, y 등등이 연속인거랑 필요충분이라서 연속임.. 저게 R^2에서 연속이니 정의역을 줄여놔도 연속.
coordinate라는 게 [x, -y; y, x]를 (x, -y, y, x)로 봐도 상관없다는 거죠?
원래 행렬공간의 위상을 그걸로 보기로 정의했으니까 ㅇㅇ
아 ㅇㅋㅇㅋ.. 한 개만 들여다보니 편협하게 생각하게 되네.. ㄳㄳ