다음은 수학적 귀납법을 적용하는 하나의 예시입니다. 이 중에서 이상한 부분이 있는 것 같아 질문드립니다.
다음을 n에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자.
P(n) : n에 관한 명제
먼저 P(0)이 성립함을 보인다.
이제 어떤 양의 정수 k에 대하여 k 보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립한다고 가정하자.
어찌어찌하여 P(k)가 성립함을 보였다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수n에 대해 P(n)이 성립한다.
여기서 제가 질문드리고 싶은 부분은 굵은 글씨로 표시한
"어떤 양의 정수 k에 대하여"
라는 부분입니다.
제가 보기에는 저 문장대로라면 결론은
" 모든 자연수n에 대해 P(n)이 성립한다 "
가 아니고
어떤 양의 정수 k에 대해 " k보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립하면 P(k)가 성립한다"
가 되는 것 같습니다.
그래서
" 어떤 양의 정수 k에 대하여 k 보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립한다고 가정하자."
를
" k를 'k 보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립'하는 임의의 양의 정수라 하자"
로 고쳐야 할 것 같습니다.
제가 틀린 부분이 있나요???
없어요
그러면 저 원래의 수학적 귀납법의 예시가 잘못된 것인가요?
말이 이상한데
P(k)가 성립함을 보였단건 어떻게보면 P(n+1)도 참인걸 보인거 아닌가 이상한건 없는거같은데 또 일단 마지막부분에서 고친거엔 문제가 없어보임
어떤 양의 정수 k에 대하여 k 보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립한다고 가정했을때 그 양의 정수 k에 대해서 P(k)가 성립한다는 것이니까 부족할 것 같아서요. 예를 들면 P(0) 이면 P(1), P(0) 이고 P(1) 이면 P(2), ... 등등 다 성립해야 모든 자연수 n에 대해서 P(n)이 성립한다고 말할 수 있습니다. 하지만 어떤 양의 정수라는 표현 때문에 극단적으로는 P(0) 이고 P(1) 이면 P(2)만 성립하고 P(0)이면 P(1)은 성립하지 않을 수도 있을 것 같습니다.
그러니까 k>n인 임의의 양의 정수 k에 대해 n 에서는 다 성립한다면 이제 k포함해서 k보다 큰 양의 정수에 대해 성립하는지 보이면될거 아냐 이건 P(k)가 성립하는걸 보인걸로 끝난거임 그니까 이제 P(k)를 보였으면 k<k'인 k'에 대해 k에서는 성립하는걸로 생각가능하겠지 이건 너가 보였던거랑 같은거임 P(k)가 성립한단걸 계속 쓸 수 있단거지
그럼 결국엔 이걸 n보다 큰 '모든' 양의 정수에 대해서 명제는 성립한단거고 가정에서 n이하의 수 들에 대해서도 성립한다고 했었으니 모든 자연수에 대해 성립하는거지
"k>n인 임의의 양의 정수 k에 대해 n 에서는 다 성립한다"면 이라고 했는데 이건 어디에서 나온건가요?
?? 내가 한 말이 그건데?
아 뭐야 내 댓글에서 갖고온거구나
무슨 말씀이신지 이해가 안됩니다..
k 보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립'하는 임의의 양의 정수라 하자" 여기서 갖고온거지
네 15시 04분 20초에 작성한 댓글에 나온 부분입니다.
네 저도 그렇게 고치면 되는 것 같았습니다. 본문 위에서 5번째 줄은 이상한 점은 없나요?
이상한건 없어보임
이건 내 뇌피셜이 좀 들어가긴했는데 참고만 해줘 어떤이 '임의의' 라는걸로 해석을 하지않아도 n<k'<...<j<k 인 어떠한 k를 잡을때 그 k보다 작은 수들에 대해 P가 성립한다고 가정했었는데 거니까 결국 j 이하의 수들에 대해 P는 성립하는걸로 볼수도있지 그러니까 굳이 '모든'으로 고칠 필요가 없어보인단거 이 댓글에서 n자리에 n'을 넣어주고 j=n
그럼 저기서 저 5번줄에 나오는 "어떤 양의 정수 k에 대하여"는 for all 의 의미인가요? 아니면 exist 의 의미인가요?
j=n으로 두면 n이하의 양의 정수들에 대해 P가 성립한단거로 볼수있잖아
일단 내 뇌피셜 지껄인걸 무시해보면 for all이 맞다고봄 밑에 갤럼 몇 명도 동의 하는거보니
문맥상 forall 이 되어야하는건 맞는데 저 문장 자체가 나타내는 의미가 "어떤 양의 정수 k에 대하여" 가 for all을 의미한다는건가요? 이 부분이 제일 핵심이라서요..
예를 들면 어떤 까마귀는 하얗다고 하면 forall의 의미는 아니잖아요.
어 for all이라니까
밑에 댓글보면 이건 서술을 잘못한걸로 보여서 여기서 만큼은 for all이라고 봐야한다고 생각함
와 충격적이네요. 어떻게 저 문장에서 "어떤 양의 정수 k에 대하여" 가 forall의 의미를 가질 수가 있는지 진짜 충격적입니다
아.. 문맥상으로는 forall 쪽으로 고쳐야하는 것은 맞습니다. 문장 자체로만 봤을때는 저 문장에서는 "어떤 양의 정수에 대하여"가 exist를 나타내서 문장을 잘못 적었다고 생각했었습니다.
그렇다고 "어떤 양의 정수 k 에 대하여" 를 단순히 "임의의 양의 정수 k에 대하여" 라고 고치면 강한 수학적 귀납법 적용하는 것과는 다르게 됩니다.
그래서 k>n인 조건이 붙어있는게 아닐까? 그나저나 너한테 혼란만 주는거 같기도하고 완전 이상한걸 가르쳐주는거 같기도해서 뭐라 더 말하는게 좀 꺼려지네
아닙니다. 저 5번째 문장을 어떻게 생각하는지 궁금했었습니다. 그리고 시간내어 주신건데 제가 감사하죠. 감사합니다.
원래 글에서는 '임의의'를 그냥 '어떤'이라고 쓴듯. 그렇게 쓰면 헷갈릴 수 있으니 '임의의'라고 쓰는 게 더 적절한 거 같긴 함
저도 딱 이렇게 생각해요
이 경우 "어떤"이란 단어가 문맥상 '임의의'라는 뜻을 표현하는 단어로 적절할까요?
처음엔 "어떤 k"가 명제 P(k)가 최초로 성립하는 k_0하나뿐이었다가, 두번째 루프에서는 "어떤 k"가 k_0, k_0+1, 두가지가 가능하고, 세번째에선 "어떤 k"가 k_0, k_0+1, k_0+2 세가지가 가능해지고... 하는 과정이기 때문에 그냥 어떤 k라고 하는게 맞는것같아요
좀 더 설명을 부탁드려도 될까요? 어떤 양의 정수 k에 대하여 k 보다 작고 영 이상의 정수 n에 대하여 P(n)이 성립한다고 가정하는데 하필 그 양의 정수가 1일 필요는 없지 않나요? 2도 아닐 수도 있고 3도 아닐 수도 있고 한 99 에 대해서는 성립할 수도 있고 그렇지 않나요?