[일반] 선생님들 이건 선택공리인가요? exists-소거 규칙인가요?

[기괴공학도(mecheng98)]

다음 사진의 11번째 줄에서 we can choose ~ 했는데요,

이건 ∃-소거 규칙을 적용한 것으로 볼 수 있는지,

아니면 선택 공리를 적용한 것으로 봐야하는지 궁금합니다.

답변해주시면 복 많이 받으실 거에요 ㅎㅎ

[익명(123.213)]

ㅔ

[기괴공학도(mecheng98)]

선택 공리란 말씀이시죠?

[익명(210.179)]

야~~~~~해석할땐 선택공리는 생각하지 않는게 국룰이야~~~~

[기괴공학도(mecheng98)]

저는 단지 궁금해서요 ㅠㅠ

[기괴공학도(mecheng98)]

답을 찾았네요:
https://math.stackexchange.com/questions/3221465/uses-of-axiom-of-choice?noredirect=1&lq=1

[뽈펜(ieieiei)]

transfinite recursion을 쓴 건데 그걸 쓰는 과정에서 선택공리가 쓰였고 ∃-소거 규칙은 안 쓰인 거 같아

[기괴공학도(mecheng98)]

자세히 좀 설명해주세요 ㅇㅅㅇ

[뽈펜(ieieiei)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_induction
여기서
Transfinite Recursion Theorem (version 1) 보면 알 수 있을 거 같아.
저 정리를 적용할 때는 G((n0, ..., nk)) = (n_{k+1} such that n_{k+1} is greater than or equal to nk and a_{nk} < a_{n_{k+1}})
이런 느낌으로 함수 G를 정의하면 됨.
그런데 이렇게 G를 정의하려면 선택공리가 필요할 거야
참고로 보통 transfinite recursion을 써야 하는 증명에서도 transfinite recursion을 명확하게 안 떠올리고 그냥 하는 경우가 대부분임 (뇌피셜 아님. Munkres 위상수학 1장에

[뽈펜(ieieiei)]

나온 말임)

[기괴공학도(mecheng98)]

감사합니다 뽈펜형 복 많이 받으세요

[뽈펜(ieieiei)]

생각해보니 그냥 선택공리 없이 transfinite recursion theorem만 쓰면 되네

[익명(58.226)]

증명 좀 틀린거같은데

[익명(58.226)]

A스스로가 monotonically increasing 인게 일단 니가 쓴 무한대 증명의 반례임

[기괴공학도(mecheng98)]

A가 유한집합일 때는 6 - 13에서 다뤄요

[기괴공학도(mecheng98)]

A가 무한집합일 때는 monotonically decreasing한 부분수열이 존재함을, A가 유한집합일 때는 monotonically increasiong한 부분수열이 존재함을 증명합니다

[익명(58.226)]

A가 무한집합이어도 단조증가할 수 있어서 단조감소하는 부분수열이 없을 수 있다는 말임

[익명(58.226)]

그냥 간단하게 A가 자연수 집합이고 an=n이면 단조감소하는 부분수열이 없음

[기괴공학도(mecheng98)]

죄송하지만 A := { n in N | a_n >= a_k forall k >= n }인데요?

[익명(58.226)]

아 첫줄 못봤음

[기괴공학도(mecheng98)]

아 그래요 ㅎㅎ 검토해 주셔서 감사드립니다 ^^