[일반] 답변 중에 이해가 안 되는 부분이 있어서 또 질문 드립니다 (선택공리)

[기괴공학도(mecheng98)]

밑줄 친 부분이 이해가 안 되는데, 자세히 설명해주실 수 있으신가요?

https://math.stackexchange.com/questions/3221465/uses-of-axiom-of-choice?noredirect=1&lq=1

위는 답변의 링크고요, 읽어주셔서 감사합니다.

[위상세계아야(lemonkx)]

x(n+1)이 그 이전의 항들 x(1), x(2),... x(n)들의 정보에 의존하게 정의되지만, 그러한 x(n+1)이 유일하게 결정될(functionally determined) 필요는 없다는 이야기.

[기괴공학도(mecheng98)]

그러한 상황에서 선택공리를 사용해야 된다는데, 왜 사용해야 되는지 모르겠어요. exists-소거 규칙을 사용하면 안 되나요?

[위상세계아야(lemonkx)]

위의 본문 내용에도 나와있지만, 그러한 "some kind of choice"를 피할 수 있는 경우가 있고 없는 경우가 있음. 증명에 indefinitely repeated process를 포함하는 경우에 AC가 반드시 있어야 하는 경우가 생기지.

[위상세계아야(lemonkx)]

finite recursion으로는 커버칠 수 없는 범위에 들어가게 되니까.

[기괴공학도(mecheng98)]

"증명에 indefinitely repeated process를 포함하는 경우에 AC가 반드시 있어야 하는 경우가 생기지." 죄송하지만 이 부분이 이해가 되질 않네요 ㅠㅠ 왜 선택공리가 필요하나요?

[위상세계아야(lemonkx)]

현재 상황으로 Axiom of (countable) choice와 equivalent한 상황을 만들어보자. A_n={x_n: x_n이 만족해야할 조건}이라하고 A_n이 nonempty라고 하면 (이게 existential conditional의 진리값이 참임을 의미함), 수열 {x_n}이 있다는 것은 N에서 union of A_n으로 가는 choice function이 있다는 것을 의미함. 당연히 이것은 정확히 axiom of (countable) choice을 써야하는 상황이고.

[위상세계아야(lemonkx)]

방금 상황이 단순하게 existential conditional에서 1개를 고르는 상황과 다르다는거지. Axiom of choice가 어떤 부분에서 비자명한 부분이 있는지 다시 생각해보자.

[위상세계아야(lemonkx)]

https://math.stackexchange.com/questions/2687765/confusion-about-axiom-of-choice
stackexchange의
이 답변이 매우 친절하고 이해가 잘 되도록 설명이 되어 있네.

[기괴공학도(mecheng98)]

알겠습니다. 정말 감사드립니다. 복 많이 받으세요 ㅎ

[기괴공학도(mecheng98)]

그러니까 무수히 많은 수열 중에서 하나를 {x_n}으로 "선택"한다는 말인가요 ㅇㅅㅇ?

[AKIRAx(chrislee93)]

무수히 많은 것중에 선택하는게 문제가 아니고 x1선택 x2선택 x3선택 이걸 무한번 반복해서 만드는데에 선택공리가 쓰이는거지 - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

네, 그러면 곱집합 Pi {n in N} A_n이 공집합이 아님을 선택공리로 보일 수 있다는 말씀이신가요?

[AKIRAx(chrislee93)]

ㅇㅇ - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

정말 감사드립니다 ㅠㅠ