Exercise 1.3.10 (Cut Property).
The Cut Property of the real numbers is the following:
If A and B are nonempty, disjoint sets with A ∪ B = R and a ＜ b for all a ∈ A and b ∈ B,
then there exists c ∈ R such that x ≤ c whenever x ∈ A and x ≥ c whenever x ∈ B.
(b)
Show that the implication goes the other way; that is, R possesses
the Cut Property and let E be a nonempty set that is bounded above.
Prove sup E exists.
제가 풀고자 하는 문제는 위와 같습니다.
저는 B := { b ∈ R | (∀e∈E) (e ≤ b) }로 놓고 A := R - B로 놓았습니다.
그리고 A와 B가 Cut Property의 전건을 만족시킴을 증명했습니다.
그런데 (∀a∈A) (a ≤ c) ∧ (∀b∈B) (c ≤ b)를 만족하는 c ∈ R가 E의 upper bound임을 증명하지 못하겠어요.
오늘 새벽 3시에 증명했는데, 자고 일어나니 틀려있네요 ㅠㅠ
읽어주셔서 감사합니다.
c가 E를 bound 하지 않는다 가정 -> c<e 인 e 존재 -> d/ (c+e)/2<e, A의 정의에 의해 A에 속함 -> c < d in A, 이는 a<=c for all a in A에 모순 -> 가정이 거짓
아~ 귀류법으로 증명하면 되네요! 감사합니다.
근데 왜 전 이 생각을 못했을까요 ㅠㅠ "d := (c + e) / 2."
선생님, 제가 곰곰히 생각해 봤는데요, c ∈ A를 가정하면 c ＜ e인 e ∈ E가 주어지는데, 이때 c ＜ d인 d ∈ A를 찾는 게 핵심이잖아요. 그러면 "일단 d ∈ A이려면, d ＜ e_wanted인 어떤 e_wanted ∈ E를 찾아야 되는데, 일단 e_wanted := e 외에는 e_wanted ∈ E를 만들기 힘들므로, d ＜ e를 목표로 두면, d가 만족시켜야 할 조건은 c ＜ d ＜ e가 되고 d := (c + e) / 2로 두자."라고 생각할 수 있을 것 같은데, 제 생각이 맞나요?