a_1을 취할 수 있음을 증명하고 a_k를 취할 수 있을 때 a_(k + 1)을 취할 수 있음을 증명했을 때,
(a_n)_{n in N}이 존재하는 것을 증명하는 게 정확하게 바로 의존적 선택공리를 이용한 것인가요?
제가 어지간히 멍청한 걸 저도 알아서 제 생각이 맞는지 꼭 확인 받고 싶습니다.
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%83%9D_%EA%B3%B5%EB%A6%AC
위 링크에 의존적 선택공리(axiom of dependent choice)에 대한 설명이 있고요, 읽어주셔서 감사합니다.
+) 선택공리가 또 생각난 이유:
개강 이틀 만에 과제 지옥으로 떨어져서,
뭘 드랍할까 선택하느라고요 ㅠㅠ
가장 어려운 해석학을 드랍했습니다.
의존적 선택공리가 필요 없을 때도 있고, 의존적 선택공리를 써서 증명할 수 있을 때도 있음. 그리고 의존적 선택공리가 아닌 그냥 선택공리를 써야 증명되는 경우도 있는 듯함.
1. 의존적 선택공리가 필요 없는 경우.
며칠 전에 니가 올린 질문
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=13689&page=3
이
이 케이스임.
저번에 내가 선택공리 필요하다고 답변했는데 생각해보니 필요 없음.
transfinite recursion theorem (version 1) (
https://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_induction#Transfinite_recursion)
만 쓰면 됨. 저기서 G를 G((n0, ..., nk)) = min {i≥nk : a_{nk}는 ai보다 작다} 이런 식으로 정의하면 됨.
물론 의존적 선택공리를 써도 되지만 그거 없이 ZF만 갖고 증명할 수 있다는 말임.
2. 의존적 선택공리를 써서 증명할 수 있는 경우. 지금 쉬운 예가 안 떠올라서 못 쓰겠지만 아래 해명 1을 보면 어떨 때 의존적 선택공리가 필요한지 느낌이 올 거라 생각함.
3. 의존적 선택공리로도 증명 안 되고 그냥 선택공리를 써야 증명되는 경우 (진짜 의존적 선택공리로 안 되는지는 확실하지 않음). 정리. S가 무한집합이면 단사함수 f: N to S가 존재한다. 증명. f(0) = S의 원소 중 하나라 하고 0보다 큰 각 자연수 n에 대해 f(n) = (S - f({0, ..., n-1})의 원소 중 하나)라 정의하면 됨. f를 저렇게 정의하기 위해 transfinite recursion theorem (version 1) 을 써야 하는데 저기 나온 G를 정의하기 위해 선택공리가 필요함.
"S가 무한집합이면" 을 "모든 자연수 n에 대해 {0, ..., n-1}(n이 0이면 공집합)에서 S로의 전사함수가 없으면" 으로 수정할게.
해명 1. 왜 1번 케이스에서는 선택공리가 안 쓰였고 3번 케이스에서는 선택공리가 쓰였나? 1번 케이스에서는 N에 well order가 주어져 있기 때문에 transfinite recursion theorem (version 1)에 나온 G를 명확히 식으로 정의할 수 있음. 그러니까 분류공리꼴로 우리가 원하는 G의 존재를 증명할 수 있음. 하지만 3번 케이스에서는 G를 명확히 식으로 정의하기 어려움. 그래서 우리가 원하는 G의 존재를 증명하기 위해 선택공리가 필요함.
해명 2. 왜 3번 케이스는 의존적 선택공리로 불충분한가? (불충분한지 확실하지 않음) f(n)이 f(n-1)에만 의존하는 게 아니라 f(0), ..., f(n-1) 모두에 의존하기 때문임.
transfinite recursion theorem, 선택공리, 의존적 선택공리의 관계는 다음과 같음. transfinite recursion theorem은 ZF에서 증명됨. 의존적 선택공리는 ZFC에서 증명되고 증명할 때 transfinite recursion theorem과 선택공리가 쓰임. 따라서 의존적 선택공리로 증명할 수 있는 건 transfinite recursion theorem + 선택공리로도 증명할 수 있음.
다 아는 건데 쓸데없이 자세히 쓴건지 모르겠다. 이미 아는 거였으면 미안 ㅋ
뽈펜형아 귀한 답변 너무 감사해요 ㅠㅠㅠㅠㅠ
예전에 람다-대수 문제 물어봤을 때 답변한 게 잘한 일이었다는 생각이 드네요. 정말 감사드립니다.