[일반] 형님들 현대대수 modulo arithmetic group질문있습니다.

[Fablula..(we1607)]

conjugate같은 upper bar를 앞에서 mod n의 notation으로 정의했습니다.

정의된 집합 Zn×에서 (a,n)=1이 무엇을 의미하나요?

이 modulo armetic set 과 곱셈 binary operation 으로 구성된 group를 설명하는 내용에 대해 더 알려주실 분들이 계시면 편히 말씀해주세요

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[lp(yyi050324)]

a와 n의 최대공약수가 1이라는 뜻임

[Fablular한소설(we1607)]

보통 gcd(,)를 (,)로 표기하나요? - dc App

[lp(yyi050324)]

ㅇㅇ

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

단원들만 모았다는 뜻입니다. 그러니까 환<Z>에 대하여 Z_{n}은 덧셈에 대하여 군을 이룹니다. 하지만 모든 Z_{n}이 곱셈에 관하여 군을 이룰까요? 답은 no 입니다. 간단히 Z_{4}={bar 0, bar1, bar2, bar3}만 보더라도 bar2 에 대한 곱셈의 역원이 없어요. 집합A에서 곱셈의 역원이 존재하는 원소 a (in A)를 단원이라고 해요. A의 단원들을 모든 집합을 A^{*}라 보통 표기하는데 <A>는 곱셈의 대해 군을 이룹니다. 이 때 A^{*}를 간단하게 기술하는 방법이 없을까요?

[Fablular한소설(we1607)]

우와...형님 감사합니다. 영어수업으로 수강해서 이런 디테일까지 언급해주셔도 잘 이해를 못했습니다. 감사합니다 - dc App

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

<Z> 의 부분집합 <Z>를 생각해 봅시다.( 덧셈이 있는 실수<R>집합의 부분집합 <R>은 구조가 같습니다. 즉 부분집합이라고 하더라도 연산에 따라 다른 구조로 생각해야합니다.) Z_{n}^{*}는 덧셈에 관하여, <Z>의 부분군입니다. 그리고 곱셈에 관하여도 군입니다. 즉 체라고 볼 수 있습니다. 이는 대수에서 매우 좋은 구조입니다. <Z>를 쓸 때 마다 이렇게 사용하면 번거롭기에 혼돈의 여지가 없다면 간단히 Z_{n}^{*}={a in Z_{n} l x in Z_{n}이 존재하여, ax=1} 이는 정수론의 표현을 빌리자면 ( gcd(a,b)=d>0 )라는 것과 (ax+by=d 을 만족하는 x,y가 존재한다.) 라는 표현은

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

필요충분 조건입니다. 즉 ax=1 이라는 것은 ax+n*0=1 이라는 표현과 같고 이는 gcd(a,n)=1 이라는 표현으로도 쓰일 수 있습니다. 책의 표기에 따라 간단히 (a,n)=1 라고 표기하는 곳도 있습니다. (a,n)=1 이라는 표현은 생성원, 기저와도 관련 있는데요, 대학교학부 수준에서는 유의미한 차이는 없는 것으로 알고 있습니다.

[Fablular한소설(we1607)]

감사합니다. 열심히 고민해보니 gcd(a,n)=1인 조건이 있는 Zn들만 곱셈과 group를 만족하네요 처음 공부하는거라 말씀해주신 ring이 무엇인지 아직 잘 모릅니다만 자세하고 친절히 사고를 유도해주시는 방향으로 설명해주셔 감사합니다. 열심히 공부하셔서 교수까지 되십쇼ㅠㅠ - dc App

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

다시 생각해보니 Z_{n} ^{*}는 체가 아니라 곱셈군임. 0 이 없어서 덧셈군이 안됨.

[Fablular한소설(we1607)]

아 그러네요 field는 0이 있어야하는데 Zn*는 0이 없네요 감사합니다 좋은 주말 보내세요 - dc App