두 벡터 →a (a1,a2) 와 →b (b1,b2)가 있을 때 그 내적의 정의는?? 기억이 애매해서 인터넷에 찾아봤더니
1. 정의를 →a · →b = l→a l x l→bl x cosθ 라고 하는 경우도 있고 또는
2. →a · →b = a1 x b1+a2 x b2 라고 하는 경우도 있고 심지어 동시에 둘을 정의라고 하는 곳도 있었습니다.
2번을 정의라고 한 곳에서는 2번과 제2코사인법칙을 이용하며 1번을 정리라고 하였는데 이것은 와닿지않아서
저는 1번을 정의라고 생각하고 2번을 정리라고 생각하여 유도과정은
(1) 두 벡터를 벡터의 덧셈을 이용하여 →a = →a1 + →a2 / →b = →b1 + →b2 로 각각 두 벡터로 분할한다. (a1,b1은 x축과 평행한 벡터, a2,b2는 y축과 평행한 벡터)
(2) 벡터의 내적은 분배법칙이 성립하므로 (내적의 분배법칙이 성립함은 공리인가요??)
(3) →a · →b = (→a1 + →a2 ) · (→b1 + →b2) = →a1·→b1 + →a1·→b2 + →a2·→b1 + →a2·→b2
(4) 이 때 a1과 b1 , a2와 b2가 이루는 각은 0이므로 cos값은 1, a1과 b2 , a2와 b1이 이루는 각은 90이므로 cos값은 0
그러므로 2번의 내적공식이 유도된다.
가 자연스럽고 맞다고 생각했는데, 내적의 정의는 오직 1번뿐인 것이 맞나요?? (그리고 내적의 분배법칙도 공리가 맞는지 궁금합니다.)
알려주시면 감사하겠습니다~
내적은 어떤 두 벡터 사이의 연산자이며 4가지 조건을 만족함 (니가 생각하는 분배법칙도 있음) 내적은 일정하게 정해진 연산이 아님 내가 잘 정의하고 4개만 만족하면 그만임 실수 공간에서의 벡터는 2번과 같이 정의했을때 4가지 조건을 만족하여 실수공간의 표준적인 내적이됨
아니다 분배는 없음 벡터공간 정의랑 헷갈림
음 뭔가 내적이라는것이 생각보다 추상적이고 심오한것같네요. 힌트주셔서 감사합니다~
선형대수학에서는, 윗사람이 말한 내적공간으로 내적을 설명함. 편의상 u,v를 벡터공간(지금은 그냥 벡터들의 집합이라고 생각하셈)의 벡터 라고 하면, 이 벡터공간에서도, '내적'이라 불리우는 함수가 존재하여 이 함수가 4가지 성질을 만족할 때 이 공간을 내적공간이라고함. 우리가 고등학교 때는 1번을 처음 배우는 정의로 사용했겠지만, 여기서는 그 반대임. 윗사람 말대로 2번과 같은 내적을 '표준내적(유클리드 내적)'이라고 부름 이 때 1번은 오히려 코시-슈바르츠 부등식에 의해 유도되는 성질로 나옴. (우리가 아는 그 부등식의 일반적인 버전임) 좀 더 자세히 쓰면 1번의 정의는, 벡터 사이의 각을 정의하기 위한 공식으로부터 나오는 하나의 따름정리 개념으로 나옴. (각도를 '정의')
본문에서 알아내려고 쓴 걸로 봐서, 이 과정도 정당화 하고 싶어할거라고 생각함. 좋은 소식은, 이 과정은 쉽게 정당화할 수 있음. 두 벡터 u,v의 내적 u o v 라고 나타내고, 벡터의 norm(길이)을 ll u ll 와 같이 표현(고등학교때 l u l 같이 절댓값처럼 표현한 그것) 해보자 l u o v l ≤ ll u ll ll v ll 요게 바로 코시-슈바르츠 부등식인데, 절댓값을 벗기면 - ll u ll ll v ll ≤ u o v ≤ ll u ll ll v ll 가 됨. 여기서 양 쪽을 각각 ll u ll ll v ll 으로 나누어 주면, -1 ≤ ( u o v )/ll u ll ll v ll ≤ 1 이 되겠네. -1과 1사이? 그러면 삼각함수?
관례 상 cos을 사용하면, ( u o v )/ll u ll ll v ll = cos(세타) 인 세타값이 0부터 파이사이에 무조건 존재하겠네? (0부터 파이 사이의 값이면, 코사인이 -1부터 1까지 온다는걸 관찰해보셈) 아크코사인(코사인 역함수)을 사용하면 세타만 남길 수 있고, 우린 이것을 벡터 사이의 각이라고 정의함. 우리가 벡터 사이의 각을 정할 때, 0부터 파이까지만 쓰는 이유가 여기있음.
참고로 내적의 분배법칙이 공리냐고 묻는다면, 나는 일부는 맞고 일부는 틀리다고 말하겠음 관례상 쓰는 용어로, '좌분배법칙' '우분배법칙'이란 말을 쓰면, 어느 한 쪽은 공리로서 존재함. 아래에 써놓겠음 물론, 증명을 보면 알겠지만 굳이 좌분배가 공리냐 우분배가 공리냐 따질 필요는 없음 우분배법칙을 증명하기 위한, 내적공간의 공리 2가지를 소개해봄. 이건 쉽게 증명 가능하니 증명은 패스하겠음. 내적공간 V의 세 벡터 u, v, w에 대하여, u, v 사이의 내적을 u o v 라고 표현한다면 (1) u o v = v o u (2) u o (v+w) = (u o w) + (v o w) (우리가 아는 분배법칙인데, 왼쪽에 내적했을 때의 분배법칙만 있음)
일단 두 개의 정의는 실수의 카테시안곱 R2상에서 서로서로가 필요충분조건이므로 어느 것을 정의로 채택하여도 상관없습니다. 물리학자들은 크기와 방향의 개념을 가지고 있는 첫번째 정의가 직관적이고, 자연스럽다고 여기는 경우가 많고, 수학자들은 계산상의 편의성에 의해 2번째 정의를 선호하는 편이죠. 내적이라는 개념이 학계에 처음 나온 것은 수 체계가 실수에서 복소수로 확장되고 그 이후에 그럼 복소수에서 한 번 더 확장될수는 없을까? 라는 고민과 함께입니다. 복소수도 처음에는 R*R 상에서 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (a,b)*(c,d)=(ac,bd)로 하려 했으나, 곱셈의 자연스러운 역연산인 나눗셈이 정의가 되지 않는 문제에 빠집니다. 그래서 학자들이 고민하다가 만든것이
자연스러운 덧셈은 보존하고, (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad-bc)라고 정의하니 곱셈으로 부터 자연스럽게 나숫셈이(물론 (0,0)으로 나눗는 것은 제외) 유도되었죠. 그리고 (a,b)=a(1,0)+b(0,1)로 받아드리고 (1,0)=1, (0,1)=i 로 간략히 사용하기로 약속합니다. 복소수의 곱셈은 만들 때는 복잡하고 이상하다고 생각되었으나 일단 전혀 모순이 없었고, 만들고 보니 평면상의 회전변환을 너무 자연스럽게 기술하는 도구로 사용되었습니다. a+bi 에서 a+bi+cj로 확장하면 어떨까? 라는 의문에 R^{3} 상의 (a,b,c)의 연산을 연구하다가 기존의 법칙과 모순되는 연산이 나오게 되어 무산되었고, R^{4} 상의 연산인 사원수가 나옵니다. a+bi+cj+dk 상의 연산에서 덧셈은 자연스
럽게 정의가 되었으나 곱셈이 또 문제였죠. 그래서 (a1,b1,c1,d1)*(a2,b2,c2,d2)=(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2,a1b2+b1a2+c1d2,d1c2,a1c2-b1d2+d1a2+d1b2,a1d2+v1c2-c1b2+d1a2)라고 곱셈을 정의하고 두 사원수의 곱셈에서 a1=0, a2=0 일 때, 3차원공간상의 회전을 설명하는데(지구본 같은거) 매우 자연스럽다는 사실을 알아내게됩니다. 그리고 사원수의 곱셈 결과 첫번째 좌표를 내적, 나머지3개의 좌표를 묶어 외적이라고 불렀죠. 학자들이 이를 연구하고 연구하면서
본질적인 성질들을 추리고 모아서 최소한의 이론으로 정립한 것이 위 댓글분들의 내용입니다. 현대수학에서는 체 위의 벡터공간을 정의하고, 벡터공간^{2}에서 체로가는 함수를 정의하고, 그 함수를 내적이라고 부릅니다. 이러한 내적이 주어진 집합을 내적공간이라고 부르죠. 글쓴이님께서 작성하신 내적은 보통 대학교에서는 내적이라고 해도 어찌어찌 알아듣기는 하는데, 보통은 점곱이라고 부릅니다.