이제 대학 들어온 새내기인데 첫번째 과제부터 막혀서 질문드립니다..
여러 수열들을 주고 수렴하는지를 판별하는 문제인데 (x+1)/(x+2)나 sinπx같은것들이 왜 수렴하는지 모르겠습니다..
교수님이 강의에서 "수열a_n이 수렴하면 a_n은 극한이 유일하고 유계이다."라고 말씀하셨는데
유계가 정확히 무엇인지 모르겠습니다...무언가 놓친게 있나 싶어서 강의를 몇번이나 돌려봐도 "경계가 있다"라는 말로만 슥 지나가시더라구요..
그래서 책에는 정확하게 설명이 되어있나 싶어서 책을 뒤져보니 설명 과정에서 입실론이 나오는데 교수님이 입실론이 난해한 개념이라고 오프라인 강의에서 설명해준다고 하셔서 책으로 이해하는데도 한계가 있습니다..
제 나름대로 "유계=최대/최소로 인한 경계가 존재하는것"이라고 생각하고 문제를 풀어봤는데 그러면 문제가 안풀리더라고요..도와주십쇼 고수님들 ㅠ
모든 n에 대해서 lanl≤M - dc App
M이 뭔가유..실수 전체요?
너가 정할 수 잇으면 유계, 어떤 실수여도 저 부등식 성립불가면 유계아님 - dc App
수열 an이 위로 유계(bounded above)라는 것은 어떤 수 M이 존재해서 모든 자연수 n에 대해 an<=M을 만족할때를 말함. 아래로 유계(bounded below)는 비슷하게 어떤 수 m이 존재해서 모든 자연수 n에 대해 an>=m을 만족할때를 말하고. 이때 M, m은 유일하지 않을 수 있음. 예를 들어서 an=1/n은 1에 의해 위로 유계, 2에 의해 위로 유계라고 말할 수 있고, 0에 의해 아래로 유계, -100에 의해 아래로 유계라고 할 수 있음. 그리고 위/아래로 동시에 유계인 경우를 그냥 '유계'라고 부름. 그래서 저 위/아래 유계 부등식을 그냥 합쳐버려서 '수열 an이 유계'라는 것을 '적당한 양수 M이 존재하여 모든 자연수 n에 대해 |an|<=M을 만족할 때'로 정리할 수 있음
근데 (x+1)/(x+2)랑 sin(pi*x)가 왜 수렴하는지 모르는건 유계를 알고 모르고의 문제가 아닌것같음..ㅎㅎ
고딩때 당연히 수렴이라고 배워서 알고는 있는데 저 조건에 부합하는지 보니까 헷갈려서요..그래도 덕분에 조금 이해가 갔습니다 감사해요
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감사합니다 윗분 말씀이랑 같이 보니까 이제 이해돼요
그럼 sinπx같은걸 예로 들면 무한대로갔을때 발산하는거랑은 관계없이 0에서 극한값이 하나고 유계니까 수렴하는거네요
sinπx 수열 주고 수렴하냐고 물어보는 문제여서 1.유계인지 확인 2. 극한값이 유일한지 확인 요 과정으로 풀었는데..뭔가 이상한가요?
안그래도 더 찾아보다가
http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=birth1104&logNo=220254122108&redirect=Dlog&widgetTypeCall=true
이런 글도 봐서 더 헷갈리던 상태였는데..답지에는 사인파이엑스가 수렴한다고 나와있어요..답지가 잘못된건가요?
갑자기 대환장파티됐네.. 지금 sin(pi*x)를 수열이라고 준거니까 x를 자연수로만 생각해야지. x=1, 2, 3, ... 계속 넣어보면 계속 0, 0, 0, .. .이니까 당연히 0에 수렴하는게 맞음. 얘를 R에서 R로가는 함수로 보면 그때는 진동발산하는게 맞고
그리고 수열이 수렴하는가? 에 대한 물음에 답하기 위해서 유계인지 확인하는건 잘못된거임. '수열이 수렴하면 유계이다.'는 참이지만, 그 역명제 '유계인 수열은 수렴한다.'는 거짓임. 반례는 an=(-1)^n 생각해보면 얘는 -1, 1만 왔다갔다하니까 유계지만 수렴하지 않지.
그리고 '수열이 수렴하면 그 극한은 유일하다' 라는건 새내기면 그냥 ?당연한거 아님? 이러고 넘어가면 됨. 수학쪽 전공 아니면 평생 당연한걸 뭘 새삼스럽게 저러지? 이러고 넘어가도 무방
늦은시간에 답글...뭔가 지송하네요 그래도 덕분에 머리 싸매던 부분 전부 해결됐습니다 감사해요 아는거 쥐뿔도 없는 상태에서 너무 깊게 들어가려하지 않겠습니다 ㅠ - dc App