급수 Sum n=0 to inf ( an (z-z0)^n) 얘의 수렴반경을 R이라 하고 z1을 disk |z-z0|<R 내부의 점이라고 하면 급수는 closed disk |z-z0|<=R1에서 균등수렴한다(단 R1은 z0와 z1사이의 거리)
이런 정리가 있잖아
근데 z1을 수렴반경 내의 아무 점으로 잡은거니까 결과적으로 z1을 점점 원의 경계에 계속 가깝게 한 다음에 closed disk들을 다 합집합을 한다 생각하면 |z-z0|<R에서 균등수렴 한다고 말하는거랑 별 차이가 없을것같다는 생각이 들거든
근데 굳이 저렇게 z1잡고 closed disk잡고 복잡하게 서술하는거 보면 이유가 있는것같단 말이지
|z-z0|<R에서 균등수렴한다고 말하면 틀림??
궁금해서 해석책도 찾아봤는데 여기도 (-R,R)에서 수렴하면 여기에 포함되는 임의의 유계폐구간에서 균등수렴한다고 써있어서 내생각이 틀린게 맞을것같은데 반례같은것도 안나와있어서 모르겟어...
이런 정리가 있잖아
근데 z1을 수렴반경 내의 아무 점으로 잡은거니까 결과적으로 z1을 점점 원의 경계에 계속 가깝게 한 다음에 closed disk들을 다 합집합을 한다 생각하면 |z-z0|<R에서 균등수렴 한다고 말하는거랑 별 차이가 없을것같다는 생각이 들거든
근데 굳이 저렇게 z1잡고 closed disk잡고 복잡하게 서술하는거 보면 이유가 있는것같단 말이지
|z-z0|<R에서 균등수렴한다고 말하면 틀림??
궁금해서 해석책도 찾아봤는데 여기도 (-R,R)에서 수렴하면 여기에 포함되는 임의의 유계폐구간에서 균등수렴한다고 써있어서 내생각이 틀린게 맞을것같은데 반례같은것도 안나와있어서 모르겟어...
compact sets을 infinite union취해도 compact일까? 로 문제를 줄일수 있을꺼 같음... 만약 이게 참이면 니 생각도 참일거임.
당근빳다 아니긴 한데 문제가 왜 그렇게 정리되는지 혹시 좀 더 설명 가능?? 내가 비슷한 느낌으로 받아들여지는 명제 "멱급수 sum an x^n이 I=(-R,R)에서 수렴하면 I위에서 연속이다" 이거 증명할때 보니깐 I내부에 유계폐구간 [a,b] 아무거나 잡으면 그 위에서 균등수렴=>그 유계폐구간 위에서 연속성 유지=>근데 유계폐구간을 아무거나 잡은거니까
I에서도 연속 일케가는데 차이점이 뭐지?? 연속성은 한점에서 생각하는거고 균등수렴은 구간에서 생각하는거라 다른건가
이것도 연속을 균등연속으로 바꾸면 (-R,R)에서 균등연속은 틀린거고 (-R,R)에 포함되는 유계폐구간 위에서 균등연속이라그러면 맞고 이런느낌인가 시불 혼자 이상한느낌에 꽂혀서 삽질하는거같네
균등수렴을 좀 더 이해하려면 uniform topology를 배우면 도움이 됨. uniform topology에서 ball이 약간 특이한 이유가 위와 같음. uniform topology를 모르면 이 케이스에서 추상적으로 설명하자면 균등수렴을 따질때 적당히 큰 n일때마다 정의역의 모든 원소에 대해서 다루어 줘야하는데 적당히 큰 n이후로 n 마다 x에서 경계(위 경우에서는 R임)로 가는 수열을 만들수 있음 즉, f_n(x_n)임. 이놈이 f(x)와의 차이를 고려했을때 우리가 원하는 결과가 안나오도록 튀게 만들수 있음. 핵심은 경계로 가는 수열을 잡을수 있냐 없냐임. 예를 들어 (-1,1)에서 수렴하는 멱급수가 있으면 그 닫힌 부분집합은 다 균등수렴하지만 (-1,1)에서는 안되는게 -1과 1로 수렴하는
수열을 잡아낼수 있기 때문임 1로 수렴하면 주어진 멱급수가 수렴안한다고 가정하면 당연히 균등수렴도 깨지겠지
내가 말하는 '튄다'라는 개념을 좀더 설명함. uniform metric은 실제로 정확한 값이 아니라 sup으로 정의가 되있어서 그런 설명을 한거임 실제로 1보다 작은 수들 모아서 1로 수렴시킬수 있잖아. 이게 무슨소린지 모르겠으면 균등수렴 다룰때 f-f_n의 sup이 0으로 간다 그런거 있잖아 그거랑 관련있음
아래 댓글에 적힌 예도 정의역에서 1로 수렴하는 수열을 잘 잡아내면 주어진 멱급수가 1에서 수렴을 안한다는것을 이용한거일거임
정성답변 ㄱㅅㄱㅅ 위상도 좀 찾아봐야겠네
경계선을 포함하면 안되냐고 묻는거임? - dc App
틀림
반례: f_n(z)=z^n이라 하고 f(z)=sum f_n(z) 생각하면 f는 반지름이 1보다 작은 닫힌 원판에선 무조건 균등수렴. 그런데 lzl<1에선 균등수렴이아님
크흑 감사합니다 sensei
저거 반례가 뭐가 있었더라