[일반] 점근선을 포함하는 도형의 넓이가 유한일수 있나요?

[익명(61.78)]

lnx가 음의 무한대로 수렴하는데 +0부터 1사이의 적분값의 극한값이 유한으로 수렴하는게 이해가 안되네요... 로그함수 말고도 이런 현상을 보이는 함수가 더있나요?

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[익명(211.47)]

x^(-1/2) 0부터 1까지 적분하면 유한값인거 금방 확인해볼수 있음

[익명(61.78)]

오우 쉣 ㅋㅋ 신기하넹

[익명(211.47)]

근데 이건 x축 y축을 바꾸고 함수도 역함수로 바꿔서 생각하면 이해하기 쉬워짐. 내가쓴거 대신에 1부터 무한대까지 x^(-2) 적분을 생각해보면 얘가 유한값인 이유를 직관적으로 말하면 x^(-2)가 매우 빠르게 작아지기 때문. 원래 질문이었던 로그함수 적분이 유한한 이유도 e^(-x)가 빠르게 작아지기 때문이라고 생각할수있음

[익명(121.136)]

사람이 참 이상한게, 시그마 1/n은 수렴할거라 생각되면서도, 정작 1/x을 1부터 무한대까지 정적분한 넓이로 주면 발산할거라 생각함. (결국 어느 경우건 적분판정법에 의해 똑같은 말을 하고 있지만) 이 문제도 이와 같은 사고 상의 오류 같음

[익명(107.204)]

이 문제는 Gabriel's Horn이라고 해서 토리첼리가 17세기에 처음으로 발견했음. 당시에는 미적분이 없어서 method of exhaustion으로 유클리드 기하와 약간의 사칙연산을 이용해서 1/x (x > 1)의 그래프를 x축에 대하여 회전시킨 것의 부피가 유한하고 겉넓이는 무한하다는 것을 증명함. 당시에 수학계의 아주 큰 떡밥이 되어서 17세기 중반의 수리철학계는 '무한이란 무엇인가?'를 주제로 움직이는 경향이 강했음. 특히나 무한에 대한 해석은 종교적 문제와도 연관이 있었기 때문에 infinity와 indefiniteness에 대한 고찰을 신학자들과 철학자들도 하게 됨.

[익명(107.204)]

결론: 신기하다고 생각하는건 당연하다

[익명(121.136)]

역사추