우리가 수업시간에 들은 내용중에 "완비성공리 : 위로 유계인 공집합이 아닌 집합 S에 대해 S의 상한이 존재한다"
그리고 실수 t와 유계이고 공집합이 아닌 실수의 부분집합 A,B에 대해 tA={tx|x€A}, A+B={x+y|x€A, y€B}라하면
(1) t<0이면 suptA = tinfA이고 inftA = tsupA이다
이걸 증명하면서 당연히 infA가 존재한다는걸 깔고 증명을 들어가는데 아래쪽에 보면
"정리(1)에 의해 infA = -sup(-A)이므로 아래로 유계인 공집합이 아닌 집합 S에 대해 S의 하한이 존재한다"
이렇게 정리를 하더라고.
근데 이 부분에서, 완비성공리에 따라 위로 유계인 집합의 상한이 존재하는건 주어진 공리이지만 아래로 유계인 집합의 하한이 존재하는건 공리가 아닌것 같은데(만약 공리라면 따로 정리를 하지 않았을테니까)
그렇다면 정리(1)의 증명과정에선 어떻게 유계인 집합의 하한 infA가 있다는 걸 가정하고 증명하는거지? 그리고 하한이 있다는걸 증명하고서 정리(1)을 증명했는데 아래쪽에서 그 (1)을 가지고 아래로 유계인 집합에 하한이 존재한다고 말하면 그건 순환논리가 아닌가?
이런 식의 이야기가 나와가지고 이걸 어떻게 해결해야할지 모르겠네... 이게 어디서부터 꼬인거지? 혹시 도와줄 수 있는사람?
정리(1)이 하한의 존재를 증명한다고 이해하면 될것임. 가령 (1) 첫번째 등식의 뜻을 'sup(tA)/t가 A의 하한의 조건을 만족한다'고 이해하면 infA의 존재성을 미리 가정할 필요 없겠지
와 그런식으로 생각하는 수가 있네
(1)의 증명과정을 안봐서 모르겠는데 글쓴이말대로 infA가 존재한다는 전제조건이 필수적인 방식으로 썼다면 잘못된 게 맞는거같음. 아래로 유계이고 공집합이 아니면 하한을 갖는다는 명제를 증명하기 이전이니까
스샷 글 본문에 첨부했음
infA의 존재성을 보이기 전이라면 저런 증명은 좀 안좋네.. infA가 존재한다고 가정하고 부등식을 쓰고 있으니까. 근데 A의 하계들의 집합을 B라고 하면 B의 상한이 infA의 조건을 만족한다는거 좋은 연습문제니까 스스로 증명해보고 진행하는것도 ㄱㅊ을듯
구에엑... 일단 해볼게 감사감사 ㅠ
그냥 상한이 존재하는거랑 하한이 존재하는게 동치임. 둘중 아무거나 완비성 공리라고 부를 수 있음.