모든 m×n 행렬 A에 대하여 rank(L_(A^t))=rank(L_A)임을 증명하시오.


정의 1. 벡터공간 V의 부분집합 S에 대해 S^0={f∈V^*|모든 x∈S에 대해 f(x)=0}으로 정의한다.

정의 2. β가 차원이 n인 벡터공간 V의 기저라 할 때 함수 phi_β : V→F^n을 좌표함수로 정의한다.

정의 3. 선형변환 T : V→W, g∈W^*에 대해 T^t : W^*→V^*를 T^t(g)=gT (g와 T의 합성함수)로 정의한다.

정리 1. W가 벡터공간 V의 부분공간이라 하자. dim(W)+dim(W^0)=dim(V)이다.

정리 2. T : V→W가 선형변환이라 하자. N(T^t)=(R(T))^0이다.

정리 3. T : V→W가 선형변환이고 β,γ가 각각 V와 W의 순서기저, β^*,γ^*가 β,γ의 쌍대기저라 할 때 [T^t]_{γ^*}^{β^*} = ([T]_β^γ)^t (전치행렬)이다.

정리 4. 모든 벡터공간 V에 대해 함수 phi_β : V→F^n은 동형사상이다.


증명) rank(L_A) = dim(R(L_A)) = m-dim(R(L_A)^0) (정리 1)

= m-dim(N(L_A)^t) (정리 2)

= dim((F^m)^*)-dim(N(L_A)^t)

= dim(R(L_A)^t)


α와 β가 각각 F^n,F^m의 표준순서기저, α^*,β^*가 대응되는 쌍대기저라 하자.

그러면 정리 3에 의해 [(L_A)^t]_{β^*}^{α^*} = ([L_A]_α^β)^t = A^t이다.


정리 4에 의해 phi_(α^*)은 동형사상이므로 다음과 같다.


dim(R_(L_A)^t) = dim(phi_(α^*)(R(L_A)^t)) = dim(R(L_(A^t)) = rank(L_(A^t))


빨간색 색칠한 부분 넘어가는 게 이해가 안됨..

감으로 저렇게 될 것 같긴 한데, 정확히 어떻게 저렇게 되는지 모르겠음

좀 풀어서 설명해주실 분...