실버만에 나오는 아주 간단한 문젠데 아무리 해도 답이 이상하게 나와서 맞게 푼건지를 모르겠어서 질문 드립니다
(z-는 z의 conjugate)
어떤 복소수 z들에 대해 root(z/z-) = z/|z| 가 성립하는가? 하는 문제인데
Polar representation으로 z=re^ia 라고 놓으면 (편의상 세타를 a로 썼습니다)
z- = e^-ia 가 되고
그러면 (좌변) = root(e^2ia)=e^ia
(우변) = re^ia/r =e^ia 이니까
저는 아무리 해도 이게 항상 참이 되는 항등식이 나오느넫
문제 뉘앙스도 어떤 z들에 대해 참이 되는지 찾아보라는 뉘앙스고
또 이런 단순한 항등식이면 애초에 문제로 내지 않았을거같은데
뭐가 문제인지 모르겠어서 질문드립니다 ㅜㅜ
z/z-는 편각이 2npi+2a여서 루트(1/2제곱) 계산하면 좌변은 최종적으로 편각이 npi+a가 되고 우변은 편각이 2npi+a임
z = -2 면 참임?
sqrt(z/z-)=sqrt(zz/zz-)=sqrt(z^2/abs(z)^2)=sqrt(z^2)/abs(z)=z/abs(z) 라는건데 이건 abs(z^2)=z 인 복소수에 대해서 묻는거랑 동치임
아니 sqrt(z^2)=z인 복소수에 대해서 묻는거 ㅇㅇ
그러네요... 감사합니다. 그런데 말씀해주신 내용이 다 이해가 가는데 위에서 제가 적어둔 풀이의 어디에 오류가 있어서 답이 제대로 안 나온건지를 아무리 봐도 모르겠어요 ㅜ
root(e^2ia)=e^ia 여기가 틀림 만약 z = e^(ipi) 라면? 실수에서 제곱한거 루트씌우면 절대값 나오는거랑 비슷한 이유라고 보시면됨 물론 복소수는 순서체가 아니지만
이게 왜이러냐면 복소수의 곱이 복소평면에서 회전이랑 관련이 있다고 생각해보면, 어떤 복소수 z를 그려놨을때 z의 principle argument의 절반인 각도에다 그 각도만큼 또 회전시키면 z의 각도가 나오지만은 그게 유일한 방법은 아님 예를 들어서 e^(ipi) 같은 경우는 principle argumet가 pi/2인경우랑 -pi/2인 경우 둘다 두번돌리면 pi가 나옴을 알 수 있음
아직 대수 안배우셨다면 나중에 대수배우시면 더 명확해지실거임
principle argument가 아니라 principal value 입니다 한글로는 으뜸값? 이라는거 같네요
와 정말 감사합니다... 그럼 Arg(z)가 (-pi/2,pi/2] 일때 저 등식이 성립하는거네요. 솔직히 제가 워낙 멍청해서 아직도 가물가물하긴 한데 그림 그리면서 계속 생각해보니까 좀 알 것도 같아요 계속 고민해보겠습니다 감사합니다!!