[일반] ZFC공리계에서 분리공리에 대해서 질문드려요!

[질문자90(59.31)]

분리공리가 존재하는 이유가 러셀의 역설을 막기 위함으로 알고있습니다.

{ x : ¬(x ∈ x) } 와 같은 표현을 방지하려 하는 걸로 알고있는데..

이미 존재하는 집합 A에 대해서 { x∈A : ¬(x ∈ x) }와 같은 표현도 모순을 일으키나요?

정칙성 공리에 의해 어짜피 임의의 집합은 ¬(A ∈ A)이므로 아주 틀린 표현은 아닌 것 같은데...

이게 틀리다면, 분리공리가 어떻게 러셀의 역설을 막게 되는지 알려주실 수 있나요?

독학으로 공부하려니 너무 힘이드네요...

[뽈펜(ieieiei)]

내가 아는 흐름은 이래. ∃A ∀x (x∈A iff phi(x))라는 공리꼴을 넣으면 러셀의 역설이 생기니까 그걸 약화시켜서 분리공리꼴로 만들었음. 근데 분리공리꼴 하나만으로는 너무 약함. 그래서 공리들을 더 넣어서 ZFC로 만들었음. { x∈A : ¬(x ∈ x) }이 존재한다 해도 러셀의 역설은 안 생기지. 그러니까 분리공리꼴은 괜찮다는 거임

[질문자90(59.31)]

그러면 { x∈A : ¬(x ∈ x) }꼴의 표현을 써도 된다는 것이지요? 알겠습니다. 감사합니다!

[뽈펜(ieieiei)]

ㅇㅇ 써도 되고, 모든 집합 A에 대해 { x∈A : ¬(x ∈ x) }(=A)가 존재하기도 함