"주어진 집합 A, B에 대하여 단사함수 f_1 : A → B와 단사함수 f_2 : B → A가 존재하면 A에서 B로 가는 전단사함수가 존재한다."
책에서는 A에서 f_2(B)로 가는 전단사함수를 구성해서 증명했는데, 저는 이게 마음에 안 들어서 A에서 B로 가는 전단사함수를 구성하고 싶어요.
책에 있는 증명은 이러합니다:
함수 f : A → A를 f(x) = f_2(f_1(x))로 두었고 B' = f_2(B)입니다.
책에서는 A에서 f_2(B)로 가는 전단사함수를 구성해서 증명했는데, 저는 이게 마음에 안 들어서 A에서 B로 가는 전단사함수를 구성하고 싶어요.
책에 있는 증명은 이러합니다:
함수 f : A → A를 f(x) = f_2(f_1(x))로 두었고 B' = f_2(B)입니다.
C에 속한다는 것을 어떻게 바꿔서, 두 전단사함수 g_1 : A → B과 g_2 : B → A를 상호재귀적으로 정의하고 싶습니다. 도와주세요.
- 희망의 등불
미안한데 사진이 그지같이 찍혔고 게다가 돌아가있어서 쳐다보기가 싫다.....
수정했습니다. 글 쓸 때는 회전이 안 됐어요. 수정하니까 되네요;; - 훈다리 훈다리
근데 f_2 가 B에서 B' 으로 가는 bijection이니까 그냥 f_2^{-1} (g(x)) 가 A에서 B로 가는 bijection 되는거 아닌가....
그렇긴 하지만 상호재귀적으로 두 함수를 구성하고 싶어요. - 훈다리 훈다리
사진 바로 올리면 돌아갈때 가끔 있어 ㅋㅋ
상호재귀적이라는게 정확히 무슨 의미인지 모르겠다 ㅋㅋ g_1을 g_2를 이용해서 정의하고 g_2를 g_1을 이용해서 정의한다는 건가. 그런식으로 하려면 결국 A하고 B를 적당한 countable union으로 잘라야 하는데 그런식으로 하면 주어진 풀이하고 뭐가 다른지도 모르겠고...
네, 정확히 맞아요. 그런데 안 자르고는 못하나요? - 훈다리 훈다리
애초에 함수의 정의를 recursion으로 주는게 well-ordered set에서만 할 수 있는건데, A나 B가 well-ordered라는 보장이 없음. 선택공리를 쓰면 well order를 줄 수 있지만 그러면 Bernstein 정리 자체가 무의미해져서 ㅋㅋ
그렇군요. 시간 내주셔서 정말 감사합니다. - 훈다리 훈다리
슈뢰더 베른스타인임? 왜 명칭이 다르지..같은거 말하는거 같은데 어쨋든 이거 증명 어렵더라 pinter책에 좀 짧게 증명된거 있음 - dc App
네 저도 어려워서 이렇게 저렇게 해보는 중이에요 ㅠㅠ - 훈다리 훈다리
나만 어려운 게 아니었구나. 한줄한줄은 알겠는데 모아놓고보면 왜 작동하는지 모르겠어요. - 훈다리 훈다리
저거 전후로 나오는 정리들 중에 제일 어렵고 비직관적으로 증명하는것 같아 난 증명자가 아이디어 어디서 얻었는지 궁금해 ㅋㅋ - dc App
칸토어 - 슈뢰더 - 베른슈타인 3명이름 붙어서 나오는듯함
그래서 이 증명을 어떻게 소화하셨어요? 양분으로 바뀌어야 하는데 잘 안 되네요. - 훈다리 훈다리
나도 집합론 뒷부분은 독학했는데 베른스타인정리 포함해서 어렵고 비직관적인 몇몇 증명들은 아이디어 못잡고 학기 끝남. 조교가 너무 바쁘고 생각보다 실력이 높지 않아서 도움청하기가 좀 그랬음... 교수님께는 사정이 있어서 질문 못드렸고. 결국 겉만 소화한거지 - dc App
음.. 그림을 하나만 그려서 어려워보이는건가? 그림을 두장 그려봐. 하나는 저 동그라미 안에 네모 안에 동그라미로, 다른하나는 네모안에 동으라미안에 네모로.. 마지막의 전체교집합은 같은건 같다 놓고
이거 무슨 책임? 나도 보고싶다 - dc App
정주희 교수님의 "수리논리와 집합론 입문"인데 영어로 된 책 보는 게 낫다고들 함 ㅇㅇ