Lay 5판 번역본의 연습문제 2.1-13:

A가 m x n 행렬이고 C A = I_n과 A D = I_m을 만족하는 n x

m 행렬 C, D가 존재한다고 가정하자. m = n이고 C = D임

을 증명하라. [힌트: 곱 C A D를 생각하라]

풀이.

C = C I_m = C (A D) = (C A) D = I_n D = D이므로 C = D입니다.

선형변환 T : R^n → R^m을 T(x) := A x로 둡시다.

연습문제 1.9-18에서 T가 단사이면 n ≤ m이고 T가 전사이면 m ≤ n임을 보인 바 있습니다.

주장 1: T는 전사함수입니다.

b ∈ R^m가 주어졌다고 합시다.

A (D b) = (A D) b = I_m b = b입니다.

그러므로 x = D b는 행렬방정식 A x = b의 해입니다.

따라서, T(x) = b인 x ∈ R^n가 존재하므로, T는 전사함수입니다.

주장 2: T는 단사함수입니다.

x ∈ R^n가 A x = 0을 만족한다고 가정합시다.

0 = C 0 = C (A x) = (C A) x = I_n x = x이므로 x = 0입니다.

그러므로 동차방정식 A x = 0은 자명한 해만을 가집니다.

따라서, 정리 11에 의하여, T는 단사함수입니다.

따라서 m = n입니다.

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Slader 켜서 겨우 풀었네요 ㅎㅎ