[일반] sin3이나 cos3이 무리수인건 어떻게 증명함?

[성적표보여줘(2giyoung)]

우리 과제로 sin3이랑 cos3 무리수인거 증명하라는 거 나왔었는데 너무 어렵다고해서 다른걸로 대체됨

근데 그냥 궁금해서 그러는데 그럼 sin3이나 cos3이 무리수라는 건 어떻게 증명하는 거임? 거듭제곱급수로는 증명 불가능함?

[익명(121.141)]

그 theorem 있었는데 sin값이 유리수가 되는게 유한한거

[ExHentai.org(nsa15464)]

ㄹㅇ임? 개쩌는 정리네

[ExHentai.org(nsa15464)]

그게 어케 유한하노

[llll(111.118)]

pi랑 비율도 유리수이면서 ㅋ 밑에 니븐정리말하는듯

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

작도가능으로 풀어도 될거같긴한데 이러면 윗댓글 방법이 아마 기초지식으로 유도할 수 있을거임(그게 쉽다는건 아니고)

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

근데 아마
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Niven%27s_theorem
같은데 이거론 질문의 답이 안되네 작도불능으로 풀어야될듯

[qqq(39.118)]

sin(1)이 무리수인걸 보이는 걸로 충분함. sin(1) = q/p 라고 두고 분모가 (p+1)! 이상인 항까지 테일러 전개하고 양변에 p곱해주면 됨. 좌변은 q라서 정수인데 우변이 정수가 아님

[qqq(39.118)]

정확히는 뒤에 줄줄이 딸려오는 애들의 합의 절댓값이 1보다 작게 할 수 있음

[qqq(39.118)]

오타 p! 곱해줘야 된다

[qqq(39.118)]

아니다 sin(1)이 무리수인거랑 상관없네 그럼 작도불능 말고 없을거 같다 무슨 짓을 해도 결국은 deg따져봐야 할것 같음

[익명(116.127)]

이게 정석이지

[llll(111.118)]

좀 거지같은 방식으로는 이런거 있겠네 cos nx가 cos x 의 정수계수 polynomial 되거든? 여기서 n=20 이런거 잡아서 루트 2 무리수인거 보이듯이 하면 될거임

[llll(111.118)]

sin 3은 좀 더 짜증나는거같은데.. 생각나는건 sin도 홀수배각공식은 비슷하게 될거야 그래서 sin 45를 sin 3의 poly로 쓰고 제곱해서 해보면될듯

[llll(111.118)]

혹시 이런 폴리노미알 표기에 관심있으면 체비셰프 폴리노미알 찾아보셈

[llll(111.118)]

심심해서 찾아봤는데 이런 풀이도 가능하네 cos3이 유리수라고 가정하면 cos6도 배각공식으로 유리수고, cos(2n+6)+cos(2n-6)=2cos 2n cos 6이 성립하고 이거가지고 cos 6n이 전부 유리수인거 증명 가능함 근데 cos 30 은 무리수니까 모순

[llll(111.118)]

sin 3이 유리수라도 cos 6은 유리수니까 풀이 똑같이 되는듯

[llll(111.118)]

레퍼런스는
https://math.stackexchange.com/a/94487

[성적표보여줘(2giyoung)]

유일하게 뭔소리인지 알겠는 풀이네 ㄱㅅ

[능금농장(pqstr173)]

이거 저희학교 경시에나왔는데, 우리가 아는 삼각비를 반각공식 오다ㅏ다다다다닥 쓰면 되용 - dc App

[익명(121.145)]

아 저게 라디안이 아니라 도였음?

[성적표보여줘(2giyoung)]

ㄴㄴ 라디안 맞음 위에 내가 착각했음

[익명(58.126)]

라디안이면 Lindemann–Weierstrass theorem쓰면 됨.