[일반] 현대대수학에서 모든 생성원을 구하라는데 어떻게 구하나요?

[익명(222.105)]

n을 법으로 하는 잉여류 집합에서 (a,n)=1인 a로 이루어진 집합

여기서 순환군인지 판단하고 생성원을 모두 구하라는데

예를들어 n이 8이면 대충 노가다 해서 순환군이 아니라고 풀었는데

n이 17일때 생성원을 모두 구하래서 도저히 노가다 할 자신이 없네요 어떻게 푸나요

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

생성원 하나만 구하면 충분

[익명(222.105)]

모두 구하라는데 그럼 두개 이상이란거 아니에요??

[qual(39.7)]

그 n개의 점을 계속 가로로 찍어요. 그 다음 생성원의 크기만큼 옆으로 점프하다보면, 언젠가 끝 점에 닿겠죠. 그 때 모든 원소를 전부 다 찍었는지 확인하면 되요. 그러면 생성원인지 아닌지 파악하는 방법은 모든 원소를 다 찍지 않고 끝 점에 닿을 수 있는 방법이 있는가겠죠?

[익명(222.105)]

잘 모르겠어요 ㅠ n이 17일땐 1부터 16까지 하나하나 확인해봐야 한다는 의미인건가요?

[qual(39.7)]

우선 기본적으로는 전부다 해보는게 맞죠. 단지 규칙이 있을 경우 약간 단순화 할 수 있을 뿐. 이 문제에는 여러가지 경우가 있지요. 옆으로 점프할 때 작은 구조에서 반복되는 경우. 옆으로 점프할 때 17을 찍지만 작은 구조인 경우. 옆으로 점프할 때 17을 찍고 모든 원소를 다 찍는 경우. 이런 구조들을 형성할 조건을 생각하면 될 것 같아요.

[익명(222.105)]

아하 한번 해볼게요 감사합니다

[AKIRAx(chrislee93)]

16개밖에 안되는데 노가다 ㄱ

[AKIRAx(chrislee93)]

근데 cyclic group의 generator는 하나만 찾으면 그거 이용해서 다른것도 다 찾아낼 수 있음. 첫댓글이 하는말이 이거일듯

[익명(222.105)]

찾는 방법이 어떻게되나요??

[AKIRAx(chrislee93)]

x가 order n인 cyclic group의 generator일 때, x^m is a generator if and only if (m,n)=1

[익명(123.108)]

맨 첨에 하나는 노가다로 찾아야됨. 프렐라이 책에서도 하나 바로 찾으니까 we are lucky 이지랄하는거 있음

[익명(123.108)]

그래도 지금 위수 16짜리 군에서 생성원 찾는거니까 라그랑주 정리에 의해서 애들 위수가 해봐야 16의 약수일거아님? 그래서 예를들어 2가 생성원인지 확인을 하겠다 하면 2^3, 2^5, 2^6 이런애들은 건너뛰고 2^2, 2^4, 2^8, 2^16만 확인해보면 되긴 함