이미 답나온거지만 써봄


0,1로만 이루어진 수열들의 집합을 A라고 하고 함수 f:[0,1]→A를 다음과 같이 구성


x가 [0,1]의 원소일때

[0,1]을 두 개의 구간 [0,1/2), [1/2, 1]로 나눠서 x가 전자에 속하면 a_1=0, 아니면 a_1=1

x를 포함하는 구간을 J_1이라고 부름


J_1을 다시 절반으로 나눠서 x가 전자에 속하면 a_2=0, 아니면 a_2=1

x를 포함하는 구간을 J_2라고 부름


이 작업을 반복해서 수열 (a_n : n=1,2,3...) 를 f(x)로 정함


이제 문제10에 의해 f는 전사함수라고 주장하고 싶지만 (J_n들을 닫아준 뒤 전부 교집합하면 비어 있지 않으니까)

001111111... 처럼 무한히 반복되는 1로 끝나는 수열에 대응되는 x가 없음

근데 이런 수열들은 가산개이므로 A에서 이것들만 빼 준 집합을 B로 놓자


그러면 f([0,1])=B ([0,1]은 B보다 기수가 크다)


A가 비가산이라는 걸 대각선논법으로 알 수 있고 B는 가산개만 뺐으니 여전히 비가산

따라서 [0,1]도 비가산