[일반] 폐곡선 A 내부의 폐곡선 B가 있을 때

[익명(121.190)]

볼록한 폐곡선 A 내부의 볼록한 폐곡선 B가 있을 때 B의 길이가 A의 길이보다 작다는걸 어떻게 증명할 수 있을지?

한 20년전 매쓰레터에 실렸던건데 혹시 쉽게 증명할 수 있나요?

[익명(118.44)]

엥? 안작지 않음?

[익명(121.190)]

A,B는 볼록한 폐곡선이라는 조건 추가

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

볼록한 이라는게 convex임?

[익명(121.190)]

ㅇㅇ

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

볼록한이라는게 convex라고 가정하면, 내생각에는 :

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

B안의 임의의 점을 잡으면, 두 곡선의 길이는 $\int_0^2\pi r_A(\theta)d\theta$, $\int_0^2\pi r_ㅠ(\theta)d\theta$ 로 나타낼수 있을건데 (볼록하니까 $r_A,r_B$는 well-defined) B가 A 안에 있으니까 $r_A(\theta)>r_B(\theta),\forall\theta$ 이므로 $\int_0^2\pi r_A(\theta)d\theta>\int_0^2\pi r_ㅠ(\theta)d\theta$.

[익명(121.190)]

와 그러네 ㄳㄳ 재밌네여

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

잘못생각했다. B위의 점을 잡으셈

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

그럼 convexity로부터 r_B(\theta) 는 well-defined 이고 동시에 r_A는 well-defined가 아닐수도 있는데 그럼 그중에 제일 작은값을 잡으면됨 그래도 r_B보다 크니까

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

아 물론 r_A는 well-defined 인걸 보일수 있는데, 이거 없이도 위 결과는 증명가능