보조정리 1: For all a, b, c ∈ Z with a ≠ 0, if gcd(a, b) = 1 and gcd(a, c) = 1 then gcd(a, b * c) = 1.
증명.
적당한 정수 x, y, u, v가 존재하여 1 = a * x + b * y이고 1 = a * u + c * v가 성립합니다.
따라서 1 = (a * x + b * y) * (a * u + c * v) = a * (a * u * x + c * v * x + b * y * u) + (b * c) * (y * v)이므로 gcd(a, b * c) = 1입니다.
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정리 1: p가 소수이고 m ＞ 1이면 p^(1 / m)는 무리수입니다.
증명.
p^(1 / m) = a / b인 0이 아닌 두 정수 a, b가 있다고 가정합시다.
일반성의 손실 없이 gcd(a, b) = 1이라고 가정합시다.
그러면 보조정리 1에 귀납법을 때려서 gcd(a, b^m) = 1임을 증명할 수 있습니다.
마찬가지로 보조정리 1에 귀납법을 때려서 gcd(a^m, b^m) = 1임을 증명할 수 있습니다.
b^m * p = a^m이므로 b^m | a^m이고 1 = gcd(a^m, b^m) = b^m임을 알 수 있습니다.
따라서 p = a^m입니다.
그런데 a | a^m = p이므로 a = 1이거나 a = p입니다.
a = 1이면 p = 1이어서 모순이고 a = p이면 m = 1이어서 모순입니다.
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오 출근중비중인데 출근해서 다시 볼께요 - dc App
보조정리1은 a, b의 일차결합의 해가 되는 가장 작은 양의 정수가 gcd가 됨을 이용했군요 멋진걸요?
정리1에서 아래서 두번째줄 a|a^m iff a|p 이므로 a = 1 or a = p 이다. 이부분 헷갈렸는데 정리 1 에 p 가 소수라고 했네요 ㅋㅋ 제가 질문한건 p = 2 에 대해 물어봤는데 소수 전체로 확장하셨네요 마음으로 박수쳤어요 ㅋㅋ
감사합니다
^_^ b