아래에 구간 (a,b)가 uncountable임을 다음과같이 말하고 있다.
1. (a,b)의 Lebesgue outer measure가 b-a
2. countable set의 Lebesgue outer measure는 0
3. 따라서 구간은 uncountable
물론 1,2는 참이니 3도 참이다. 그 이전에 3이 참임을 알지만, 3은 통상적으로 대각선논법을 통해 보이며, 2^N과 기수가 같음을 쓴다.
이제 문제. 위의 3단논법에서 사용된 사실들이 우리가 아는 대각선논법과 동일한 논리과정인지를 확인해보자. 물론 실수를 Dedekind cut으로 정의했다면 이미 그시점에서 2^N보다 크거나같고 무한소수로 잡아도 2^N보다 크거나같으니 기수는 알지만 여기다 직접 대각선논법을 적용하지는 말고 1, 2의 증명을 따라가서 확인해보자.
ps. 이런 류의 당연히 배웠던 사실을 보다 고등이론으로 재증명하는 문제는 순환논증의 함정에 빠질수 있어서 문제로 잘 내진 않는데, 일단은 내 나름의 답은 냈지만 그게 어딘가 또 순환논증에 걸렸을수 있음. 만약 이러저러해서 실수의 uncountability를 쓰지 않고 저걸 증명할수 없다는걸 설명해도 됨.
1. (a,b)의 Lebesgue outer measure가 b-a
2. countable set의 Lebesgue outer measure는 0
3. 따라서 구간은 uncountable
물론 1,2는 참이니 3도 참이다. 그 이전에 3이 참임을 알지만, 3은 통상적으로 대각선논법을 통해 보이며, 2^N과 기수가 같음을 쓴다.
이제 문제. 위의 3단논법에서 사용된 사실들이 우리가 아는 대각선논법과 동일한 논리과정인지를 확인해보자. 물론 실수를 Dedekind cut으로 정의했다면 이미 그시점에서 2^N보다 크거나같고 무한소수로 잡아도 2^N보다 크거나같으니 기수는 알지만 여기다 직접 대각선논법을 적용하지는 말고 1, 2의 증명을 따라가서 확인해보자.
ps. 이런 류의 당연히 배웠던 사실을 보다 고등이론으로 재증명하는 문제는 순환논증의 함정에 빠질수 있어서 문제로 잘 내진 않는데, 일단은 내 나름의 답은 냈지만 그게 어딘가 또 순환논증에 걸렸을수 있음. 만약 이러저러해서 실수의 uncountability를 쓰지 않고 저걸 증명할수 없다는걸 설명해도 됨.
아래 표시한 내용은 내가 정확히 누군지는 기억이 나지 않지만 매우 저명한 학자의 글에서 읽은 내용임.
1. 자연수 전체와 0 과 1 사이 유리수 전체와 일대일 대응이 칸토르 이전에 여러 자료에서 발견됨. 2. 0과 1 사이 유리수는 1로가고 0과 1 사이 무리수는 0으로가는 디리클레 함수를 생각해 내고 이 함수의 적분값이 임의의 양수 a 보다 작음을 a/2 + a/4 + a/8 + ... =a을 이용하여 보임. 유리수 나 무리수가 모두 조밀한데 이는 역설같이 보임. --이러한 역설적인 내용이 칸토를 훨씬 이전 자료 이곳 저곳에서 발견됨.
그리고 자연수를 실수에 전사 시킬수 없음을 토폴로지 책에서 본 적이 있음. 이 두가지 내용은 연속인 실수축(continuum)을 실수들의 집합(수학의 대수화 과정에서 나오는 discritization)을 보지 않아도 자연수와 실수연속체 사이의 1 대 1 관계를 설정하는 것은 불가능함. 이의 근본적인 내용은 내 생각을는 칸토르가 생각한 것처럼 농도(cardinality)의 문제라기 보다는 크기(measure)의 문제라고 보여짐. 크기가 0인 점이 아무리 모여도 크기가 있는 선분이 만들어 질 수 없다. 이를 뒤바침 해줄 만한 이론으론 무한소이론이 있다고 나는 생각해.
coco 아저씨. Cantor set이라는 게 있습니다만..... 한번 보고 오실?
위 댓글에... 근본적인 내용이라는 토를 달긴 했었지만, Cantor set을 생각하지 못한것 미안해.
답이 없으니 자문자답. 1에서 구간의 outer measure가 b-a를 증명할때 폐구간의 compactness를 사용함. 예를들어 0,1사이 유리수근방으로 작은 구간을 잡은 open interval이 [0,1]을 커버하지 못하는걸 보일때 compactness를 사용할수밖에 없음
그 compactness는 Bolzano-Wierestrass정리를 쓰고, 반씩 분할하는 과정과 그 무한교집합이 nonempty라는 성질을 사용하는데, 만약 [0,1]의 enumeration이 존재하면 그 주변으로 e/2^n만큼 근방을 잡은 open sets유한개로
근데 1에서 실제로 필요한건 (a,b) > 0 인거고 이건 m[c,d] = d-c 에서 당연한거 아님? 그럼 결국 outer measure가 잘 정의된다는걸 증명할때 uncountable이 고려되는거 아닌강
ㄴ 아니 m[c,d]가 d-c인 이유가 그냥 (c-1/n,d+1/n)란 cover 한개짜리 가져와서 되는게 아니라 어떤 countable하게 잘게 짜른애를 가져와도 되는걸 보여야해서 그 countable을 finite로 떨어트리는걸 거치는걸 피하지 못함
디씨도 대댓기능 생긴것인데.. 아무튼 폐구간 [c,d]의 outer measure가 d-c인건 실수에 메져 줄때 정의하는거 아님? (a,b)는 적당한 폐구간 [c,d]를 포함할테고 그럼 monotonicity? 같은걸로 0보다 크단걸 보이는 과정엔 uncountable은 관계없을거 같은데
내가 평소엔 공앱말고 다른 호환앱을 써서.. 암튼 outer measure 정의할때 length는 바로 정의하는데 outer measure는 cover의 length합의 infimum으로 정의하잖아. 구간의 outer measure가 length와 같다는건 증명사항임 - dc App
아 length를 정의하고 거기서 measure를 유도하는거였구나
outer measure는 inf sum length(I_k)로 정의하니까 uncountable이 저기서 쓰이진 않는걸로 보림
암튼 아까말 이오서 덮이지 않는걸 찾는 과정인데, 덮이지 않는 이유가 길이가 짦아서기 때문에 길이를 줄여가면서, 반복하면 되는데, finite subcover를 가지지 않는 집합을 표기하기위해 Enumeration을 r_n, B_n=B(r_n, e/2^n) C_n= union (Bk, k>=n)으로 두면
우선 순환논리가 들어간 가짜논리를 먼저 쓰면 Cn의 길이가 e/2^n이기 때문에 구간 1/2^n을 덮지 못해서 C_n마다 그게 덮지 않는 길이 1/2^n구간을 하나씩 정하는게 대각선논법에서 쓴 무한소수를 한자리씩 어긋나게 잡는 과정임
이게 순환논리가 들어간 이유는 Cn의 길이합이 모자르면 길이 1/2^n을 덮을수 없다는게 우리가 증명하려고 하는 내용이기 때문.. 해서 진짜 증명은 각 단계별로 [0,1/2] [1/2,1]중 하나를 덮지 못하는 C_n1이 존재하고, 비슷하게 Cn2, 등등이 존
재한다고 한 뒤.. 그 구간의 intersection이 존재한다는게 결국 고전적인 Cantor 논법으로 회귀한다는게 내가 생각한 부분이었음 - dc App
근데 폰으로 바로 적으려니 뭐가 또 잘못됐네... 마지막부분이 좀 문제가 있고 나중에 다시 고치겠음...
꼭 필요한 과정 같긴 한데 박사 학위 소지자도 단번에 정리할만한 내용은 아닌 거 보니 그렇게 크게 중요한 건 아니군요(?)
와 이분 글이랑 댓글 엄청 달아주시네 몇개월 전에 수갤에서도 봤었는데 잘 안보이시더니만
아 원래 수갤 능력자엿군 ㅋㅋ