1) 우선 x와 y가 모두 동일한 소인수를 가짐은 자명하다.

증명은 plab이면 pla혹은 plb임을 이용하면 된다.

이의 증명은 몫과 나머지의 정리를 활용하면 쉽게 된다.

2) 편의상 x>y라 하자.

p^mp(x)llx라 정의한 뒤 y에 대해서도 똑같이 정의한다.

따라서 mp(x)y=mp(y)x가 성립한다.

다시말하면 mp(x)>mp(y)가 성립한다.

즉 x와 y는 모든 소인수를 공유하며

소인수의 지수는 x가 y보다 크다.

따라서 x는 y로 나누어 떨어진다.

따라서 x=ky^a라고 쓸 수 있다.

이를 대입하면

k^y y^ay = y^(ky^a)

가 된다.

즉 k^y=y^y(k y^(a-1) - a) 이 된다.

여기서 몇가지 경우를 나눠 생각해볼 수 있는데

k=1

이 경우 자연스레 y^(a-1)=a라는 등식이 성립한다.

만약 a=1이라면 x=y란 해가 나온다.

a가 2 이상이라면

y>2-> 수학적 귀납법으로 좌변이 우변보다 큼 비율 따지면됨

y=2 a=2일때 x=4라는 해가 나옴. 나머지 경우 수학적 귀납법으로 무시가능.

만약 k가 2 이상이다

그러면 k와 y의 소인수는 동일하므로

y가 y(ky^(a-1)-a)보다 작을 때 k는 y로 나누어 떨어진다.

따라서 1과 ky^(a-1)-a의 크기를 비교하여

전자가 후자보다 큰 경우를 생각해야 된다.

y>2라면

1. a>1

y^(a-1)-a는 1 이상이다.

다음 편에 계속