문제.

p q - 2가 또한 소수인 모든 쌍둥이 소수 p, q를 결정하라.

풀이.

p = 3이고 q = 5이면 p q - 2 = 23은 소수입니다.

이제 더 이상 p q - 2가 소수인 쌍둥이 소수 p, q가 없음을, "1보다 큰 정수 n이 어떤 소수를 나눈다면 n은 바로 그 소수이다."라는 사실을 이용하여, 보이겠습니다.

만약 두 소수 p와 q가 p ＞ 3 ∧ q = p + 2를 만족한다면:

어떤 정수 k가 존재하여 p = 6 k ∨ p = 6 k + 1 ∨ p = 6 k + 2 ∨ p = 6 k + 3 ∨ p = 6 k + 4 ∨ p = 6 k + 5입니다.

/* 왜 p를 6으로 나눈 나머지를 고려할까요? 왜 하필 6일까요? */

/* 만약 p, p + 3와 p (p + 3) - 2 모두 소수이게 하는 p를 결정하라는 문제가 있으면, 무엇으로 나눈 나머지를 고려해야 되나요? */

p = 6 k인 경우:

3 | p이고 p가 소수라서 p = 3입니다.

그러나 p ＞ 3이므로 모순을 얻고, "p q - 2는 소수가 아니다."는 볼 것 없이 성립합니다.

p = 6 k + 1인 경우:

3 (2 k + 1) = p + 2 = q이므로 3 | q입니다.

q가 소수이므로 q = 3입니다.

그러나 q = p + 2 ＞ 3이므로 모순을 얻고, "p q - 2는 소수가 아니다."는 볼 것 없이 성립합니다.

p = 6 k + 2인 경우:

2 | p이고 p가 소수라서 p = 2입니다.

그러나 p ＞ 2이므로 모순을 얻고, "p q - 2는 소수가 아니다."는 볼 것 없이 성립합니다.

p = 6 k + 3인 경우:

3 | p이고 p가 소수라서 p = 3입니다.

그러나 p ＞ 3이므로 모순을 얻고, "p q - 2는 소수가 아니다."는 볼 것 없이 성립합니다.

p = 6 k + 4인 경우:

2 | p이고 p가 소수라서 p = 2입니다.

그러나 p ＞ 2이므로 모순을 얻고, "p q - 2는 소수가 아니다."는 볼 것 없이 성립합니다.

p = 6 k + 5인 경우:

p q - 2 = 3 (12 k^2 + 24 k + 11)이므로 3 | p q - 2입니다.

p q - 2가 소수라면:

p q - 2 = 3인데 p q ＞ 3 * 5이므로 모순입니다.

따라서 p q - 2는 소수가 아닙니다.

위의 5가지 경우에서 p q - 2는 소수가 아님을 확인하였습니다.

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읽어주셔서 감사합니다.