[일반] 실수개수 자연수개수에 관한질문

[ㅇㅅㅇ(125.185)]

어디서 본글인데

실수의 개수>자연수의 개수인데,

그러면
실수 중에서 무작위로 수 하나를 골라서 1이 나올확률보다
자연수 중에서 무작위로 수 하나를 골라서 1이 나올확률이 더 크다고 할 수 있나?

[ExHentai.org(nsa15464)]

ㄴ

[ㅁㅁ(111.239)]

사실 "실수 중에서 무작위로 수 하나를 고르는 거" 랑 "자연수 중에서 무작위로 수 하나를 고르는 거" 둘 다 정의가 안됨. 확률이라는 게 정의가 그런걸 안받아들이게 돼있어.

[ㅁㅁ(111.239)]

[0,1]에서 무작위로 수 하나를 고르는 건 정의가 되고, 거기서 어떤 수 - 예를들어 1을 고르는 확률은 정확히 0임.

[ㅁㅁ(111.239)]

한편 가산개 집합에서 숫자를 뽑는 확률을 정의하고 싶다고 하면, 자연수 n을 1/2^(-n) 확률로 뽑든가 해서 지수분포나 푸아송분포 같은 느낌으로 정의해야됨. 균일분포가 없음.

[익명(223.62)]

정말 신기하네;; 공대생 입장에서 역시 확률론이 확률론했다고밖엔 안 보인다. 아마 확률론이 사실상 측도론이라서 이렇게 된 거 같은데, 대체 측도론의 무슨 정리가 이거를 정의 못하도록 만들었는지 알려줄 수 있음?

[ㅁㅁ(111.239)]

가산이면 probability mass function이라는 애를 정의해야 하는데, 가능한 모든 사건의 확률의 무한합이 1이 되어야 함. 사건이 무한개 있는데 각 확률이 똑같으려면 확률이 0이면 무한합 0에, 0보다 크면 무한합 발산해서 균등분포가 없는거.

[ㅁㅁ(111.239)]

비가산이면 무한합이라는 거 자체가 의미가 없으니까 르벡측도,르벡적분이 나오는 거고. 여기선 각 사건 확률이 0으로 더해서 0이어도(기껏해야 가산개) 연속적으로 적분하면(비가산개) 구간의 확률은 0이 아닐 수 있음.

[ㅁㅁ(111.239)]

그경우도 -∞부터 +∞까지 적분하면 1나와야 되는데, 상수함수는 그럴 수가 없으니 실수 전체의 균등분포가 없는거. 대충 상수함수는 L1 규격화 불가능하다고 하는 걸듯(물리충이라 가끔 용어 헷갈림)

[익명(203.229)]

사실 가장 물어보고 싶던 부분은 대답이 없는 것 같네... 실수 중에서 무작위로 수 하나를 고르는 것과, [0,1] 에서 무작위로 수 하나를 고르는 게 대체 무슨 차이가 있는지를 모르겠음. 그냥 tanx 약간만 조정하면 [0,1]을 실수 전체로 바꿔버릴 수 있지 않음? 각 확률이 0이어도 비가산으로 적분하면 0보다 클 수 있다는 건 알고있음

[익명(203.229)]

아 그렇구나... 만약 균등분포라서 상수함수 쓰는 게 아닌 "무작위"라는 속성 버리고 정규분포를 쓴다고 하면 이거는 실수 전체까지 정의 가능한거지?

[익명(175.223)]

실수 중에 무작위로 하나 고르는건 정의가 될텐데? 자연수는 분포가 주어져야겠지만

[ㅁㅁ(111.239)]

175.223// 안됨. 아마 그쪽이 생각하는 건 '특정 구간 내에서의' 실수를 균일하게 무작위로 잡는 걸거야.

[ㅁㅁ(111.239)]

모든 실수 위에서의 균등분포가 왜 안되는지 다른 방법으로 생각해보면, 아래 덧글에 나온 것처럼 실수 위에서의 균등분포가 있으면 정수 위에서의 균등분포도 있어야 하기 때문이야. 그런게 없으니까 귀류법으로 실수 위에서의 균등분포는 없단 결론이 됨.

[ㅁㅁ(111.239)]

원질문자// ㅇㅇ. 물론 (0,1)에서 하나 뽑고 탄젠트로 조정하면 실수 전체서 무작위로 뽑을 수 있어. 근데 그건 균등분포가 아니야. 애초에 균등분포가 아닌 무작위라면 너말대로 정규분포든지 뭐든지 쓸 수 있는거지

[ㅇㅅㅇ(125.185)]

근데 실수에서 고르는거 정의되면 자연수고르는건 그냥 [x]하면되지않음?